Граф замен

Граф замен [math]D_{M_1, M_2}(I)[/math]

Граф замен — специальный ориентированный двудольный граф, фигурирующий в теореме Эдмондса-Лоулера.

Пусть [math]I[/math] — текущее независимое множество, построенное алгоритмом для матроидов [math]M_1 = \langle S, I_1 \rangle[/math], [math]M_2 = \langle S, I_2 \rangle[/math]. Введем граф замен [math]D_{M_1, M_2}(I)[/math], левой долей которого являются элементы множества [math]I[/math], правой — все остальные элементы [math]S[/math]. Проведем все имеющиеся ребра

[math](y, z): y \in I, z \in S \setminus I, I \setminus y \cup z \in I_1[/math],

а также

[math](z', y'): y' \in I, z' \in S \setminus I, I \setminus y' \cup z' \in I_2[/math].

Пусть [math]X_1 = \{z \in S \setminus I | I \cup z \in I_1 \}, X_2 = \{z \in S \setminus I | I \cup z \in I_2 \}, P[/math] — кратчайший путь в [math]D_{M_1, M_2}(I)[/math] из [math]X_1[/math] в [math]X_2[/math]. Тогда алгоритм с помощью этого пути либо определяет максимальность набора [math]I[/math], либо позволяет найти набор большей мощности.

Источник

Chandra Chekuri — Combinatorial Optimization, с. 2-3.