Обход в глубину, цвета вершин

Обход в глубину (поиск в глубину, англ. Depth-First Search, DFS) - один из основных методов обхода графа, часто используемый для проверки связности, поиска цикла и компонент сильной связности и для топологической сортировки.

Алгоритм

Общая идея

Общая идея алгоритма состоит в следующем: для каждой не пройденной вершины необходимо найти все не пройденные смежные вершины и повторить поиск для них.

Пошаговое представление

1. Выбираем любую вершину из еще не пройденных, обозначим ее как u.
2. Запускаем процедуру DFS(u)
   • Помечаем вершину u как пройденную
   • Для каждой не пройденной смежной с u вершиной (назовем ее v) запускаем DFS(v)
3. Повторяем шаги 1 и 2, пока все вершины не окажутся пройденными.

Реализация

vector<bool> visited;                       //вектор для хранения информации о пройденных и не пройденных вершинах

void dfs(int u)              
{
    visited[u] = true;                      //помечаем вершину как пройденную
    for (v таких, что (u, v) - ребро в G)   //проходим по смежным с u вершинам
        if (!visited[v])                    //проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине
            dfs(v);
}

int main()
{
    ...                                     //задание графа G с количеством вершин n.
    visited.assign(n, false);               //в начале все вершины в графе не пройденные
    for (int i = 0; i < n; ++i)             //проходим по всем вершинам графа...
        if (!visited[i])                    //...не забыв проверить, были мы уже в очередной вершине или нет
            dfs(i);
    return 0;
}

Время работы

Оценим время работы обхода в глубину. Процедура [math]dfs[/math] вызывается от каждой вершины не более одного раза, а внутри процедуры рассматриваются все такие ребра [math]\{e\ |\ begin(e) = u\}[/math]. Всего таких ребер для всех вершин в графе [math]O(E)[/math], следовательно, время работы алгоритма оценивается как [math]O(V+E)[/math].

Цвета вершин

Зачастую, простой информации "были/не были в вершине" не хватает для конкретных целей.
Поэтому в процессе алгоритма вершинам задают некоторые цвета:

если вершина белая, значит, мы в ней еще не были, вершина не пройдена;

серая - вершина проходится в текущей процедуре DFS;

черная - вершина пройдена, все итерации DFS от нее завершены.

Такие "метки" в основном используются при поиске цикла.

Реализация

Отличие реализации с цветами от предыдущей лишь в массиве visited, который мы назовем теперь color, и дополнительной черной "метки". При этом цвета вершин будут заданы следующим образом: белый - 0, серый - 1, черный - 2.

vector<int> color;                          //вектор для хранения информации о цвете вершин

void dfs(int u)              
{
    color[u] = 1;                           //раскрашиваем вершину в серый цвет
    for (v таких, что (u, v) - ребро в G)   //проходим по смежным с u вершинам
        if (!color[v])                      //проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине, условие не требует изменений, 
            dfs(v);                         //поскольку мы считаем вершину "не пройденной" только тогда, когда она белого цвета, т.е. когда color[v] = 0
    color[u] = 2;                           //раскрашиваем вершину в черный цвет
}

int main()
{
    ...                                     //задание графа G с количеством вершин n.
    color.assign(n, 0);                    //в начале все вершины в графе не пройденные, т.е. белые.
    for (int i = 0; i < n; ++i)             //проходим по всем вершинам графа...
        if (!color[i])                    //...не забыв проверить, были мы уже в очередной вершине или нет
            dfs(i);
    return 0;
}

Дерево обхода в глубину

Рассмотрим подграф предшествования обхода в глубину [math]G_p = (V, E_p)[/math], где [math]E_p = \{(p[u], u) : u \in V,\ p[u] \neq NIL\}[/math], где в свою очередь [math]p[u][/math] — вершина, от которой был вызван [math]dfs(u)\ [/math] (для вершин, от которых [math]dfs[/math] был вызван нерекурсивно это значение соответственно равно [math]NIL[/math]). Подграф предшествования поиска в глубину образует лес обхода в глубину, который состоит из нескольких деревьев обхода в глубину. Назовем ребрами дерева те ребра из [math]G[/math], которые вошли в [math]G_p[/math].

Источники

• Обход в глубину на ru.wikipedia.org
• Обход в глубину. Реализации.