Коды Грея для перестановок — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 42: Строка 42:
 
== '''Определение''' ==
 
== '''Определение''' ==
  
−
'''Коды Грея для перестановок''' - называют такое упорядочение перестановок, что соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.
+
'''Коды Грея для перестановок''' {{---}} это такое упорядочение перестановок, что соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.
  
−
'''Элементарная транспозиция''' - транспозиция двух соседних элементов (обмен местами двух соседних элементов). Далее будем называть элементарную транспозицию просто транспозицией.
+
'''Элементарная транспозиция''' {{---}} транспозиция двух соседних элементов (обмен местами двух соседних элементов). Далее будем называть элементарную транспозицию просто транспозицией.
  
 
== '''Построения кода Грея для перестановок''' ==
 
== '''Построения кода Грея для перестановок''' ==
  
−
Чтобы построить код Грея для перестановки длиной n, будем использовать код Грея для перестановки длиной n - 1.
+
Чтобы построить код Грея для перестановки длиной $n$, будем использовать код Грея для перестановки длиной $n - 1$.
−
Для n = 1 код Грея выглядит так:
+
Для $n = 1$ код Грея выглядит так:
  
  
−
{1} - n! различных перестановок, отличных друг от друга в одной транспозиции (очевидно).  
+
{ $1$ } {{---}} $n!$ различных перестановок, отличных друг от друга в одной транспозиции (очевидно).  
  
  
−
Будем строить код Грея для перестановок длины n = k. Предположим, что нам известен код Грея для перестановок длиной n = k - 1. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Пусть она выглядит так:
+
Будем строить код Грея для перестановок длины $n = k$. Предположим, что нам известен код Грея для перестановок длиной $n = k - 1$. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Пусть она выглядит так:
  
  
−
{a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k-1</sub>} ,где a<sub>i</sub> при i = 1, 2, 3, ..., k - элементы перестановки.
+
{$a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k-1}$} ,где $a_{i}$ при $i = 1, 2, 3, ..., k$ {{---}} элементы перестановки.
  
  
−
Элемент a<sub>k</sub> запишем в начало этой перестановки:
+
Элемент $a_{k}$ запишем в начало этой перестановки:
  
  
−
{a<sub>k</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>}
+
{$a_{k}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k - 1}$}
  
  
−
Будем "двигать" этот элемент a<sub>k</sub> влево, меняя его с соседним:
+
Будем "двигать" этот элемент $a_{k}$ влево, меняя его с соседним:
  
  
−
{a<sub>k</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>} (1)
+
{$a_{k}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k - 1}$} (1)
  
−
{a<sub>1</sub>, a<sub>k</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>} (2)
+
{$a_{1}, a_{k}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k - 1}$} (2)
  
−
{a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>k</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>}
+
{$a_{1}, a_{2}, a_{k}, a_{3}, ..., a_{k - 1}$}
  
−
{a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, a<sub>k</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>}
+
{$a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{k}, ..., a_{k - 1}$}
  
−
..........................
+
$..........................$
  
−
{a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k</sub>, a<sub>k - 1</sub>}
+
{$a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k}, a_{k - 1}$}
  
−
{a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>, a<sub>k</sub>} (3)
+
{$a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k - 1}, a_{k}$} (3)
  
  
−
Получим k различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Возьмем следующую строку из кода Грея для перестановок длиной n = k - 1, которая будет выглядеть так (т.к. мы получили, что элемент стоящий на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо см. (1), (2), то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторым):
+
Получим $k$ различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Возьмем следующую строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, которая будет выглядеть так (т.к. мы получили, что элемент стоящий на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо см. (1), (2), то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторым):
  
  
−
{a<sub>2</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>}
+
{$a_{2}, a_{1}, a_{3}, ..., a_{k - 1}$}
  
  
−
Элемент a<sub>k</sub> записываем в конец и начинаем "двигать" влево, меняя его с правостоящим:
+
Элемент $a_{k}$ записываем в конец и начинаем "двигать" влево, меняя его с правостоящим:
  
  
−
{a<sub>2</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>, a<sub>k</sub>} (4)
+
{$a_{2}, a_{1}, a_{3}, ..., a_{k - 1}, a_{k}$} (4)
  
−
{a<sub>2</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k</sub>, a<sub>k - 1</sub>}
+
{$a_{2}, a_{1}, a_{3}, ..., a_{k}, a_{k - 1}$}
  
−
..........................
+
$..........................$
  
−
{a<sub>2</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>3</sub>, a<sub>k</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>}
+
{$a_{2}, a_{1}, a_{3}, a_{k}, ..., a_{k - 1}$}
  
−
{a<sub>2</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>k</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>}
+
{$a_{2}, a_{1}, a_{k}, a_{3}, ..., a_{k - 1}$}
  
−
{a<sub>2</sub>, a<sub>k</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>}
+
{$a_{2}, a_{k}, a_{1}, a_{3}, ..., a_{k - 1}$}
  
−
{a<sub>k</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>k - 1</sub>}
+
{$a_{k}, a_{2}, a_{1}, a_{3}, ..., a_{k - 1}$}
  
  
−
Опять получили k различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Далее берем третью строку из кода Грея для перестановок длиной n = k - 1, записываем в ее начало элемент a<sub>k</sub> и двигаем его вправо, как для первой перестановки и т.д.
+
Опять получили $k$ различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Далее берем третью строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, записываем в ее начало элемент $a_{k}$ и двигаем его вправо, как для первой перестановки и т.д.
  
  
−
Для каждой перестановки длиной n = k - 1 (всего их (k - 1)!) мы получили k новых перестановок. Итого k(k - 1)! = k! перестановок. Все они различны, т.к. для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент a<sub>k</sub> стоит на разных позициях,а если a<sub>k</sub> стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной n = k - 1 (см. (3), (4)). Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной транспозиции (образованные от одной перестановки различны благодаря построению, от разных перестановок - имеют a<sub>k</sub> на одной и той же позиции, но отличаются в одной транспозиции, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной n = k - 1, см (3), (4)). Таким образом мы получили k! различных перестановок длиной k, отличающихся в одной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной n получен.
+
Для каждой перестановки длиной $n = k - 1$ (всего их $(k - 1)!$) мы получили $k$ новых перестановок. Итого $k\cdot(k - 1)! = k!$ перестановок. Все они различны, т.к. для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент $a_{k}$ стоит на разных позициях,а если $a_{k}$ стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной $n = k - 1$ (см. (3), (4)). Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной транспозиции (образованные от одной перестановки различны благодаря построению, от разных перестановок {{---}} имеют $a_{k}$ на одной и той же позиции, но отличаются в одной транспозиции, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, см (3), (4)). Таким образом мы получили $k!$ различных перестановок длиной $k$, отличающихся в одной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной $n$ получен.
  
 
== '''Сведение задачи построение кода Грея для перестановок к графам''' ==
 
== '''Сведение задачи построение кода Грея для перестановок к графам''' ==

Версия 22:04, 16 ноября 2011

код Грея для перестановки при n = 2 
2 1
1 2
код Грея для перестановки при n = 3 
3 2 1
2 3 1
2 1 3
1 2 3
1 3 2
3 1 2
код Грея для перестановки при n = 4 
4 3 2 1
3 4 2 1
3 2 4 1
3 2 1 4
2 3 1 4
2 3 4 1
2 4 3 1
4 2 3 1
4 2 1 3
2 4 1 3
2 1 4 3
2 1 3 4
1 2 3 4
1 2 4 3
1 4 2 3
4 1 2 3
4 1 3 2
1 4 3 2
1 3 4 2
1 3 2 4
3 1 2 4
3 1 4 2
3 4 1 2
4 3 1 2

<wikitex>

Определение

Коды Грея для перестановок — это такое упорядочение перестановок, что соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.

Элементарная транспозиция — транспозиция двух соседних элементов (обмен местами двух соседних элементов). Далее будем называть элементарную транспозицию просто транспозицией.

Построения кода Грея для перестановок

Чтобы построить код Грея для перестановки длиной $n$, будем использовать код Грея для перестановки длиной $n - 1$. Для $n = 1$ код Грея выглядит так:


{ $1$ } — $n!$ различных перестановок, отличных друг от друга в одной транспозиции (очевидно).


Будем строить код Грея для перестановок длины $n = k$. Предположим, что нам известен код Грея для перестановок длиной $n = k - 1$. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Пусть она выглядит так:


{$a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k-1}$} ,где $a_{i}$ при $i = 1, 2, 3, ..., k$ — элементы перестановки.


Элемент $a_{k}$ запишем в начало этой перестановки:


{$a_{k}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k - 1}$}


Будем "двигать" этот элемент $a_{k}$ влево, меняя его с соседним:


{$a_{k}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k - 1}$} (1)

{$a_{1}, a_{k}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k - 1}$} (2)

{$a_{1}, a_{2}, a_{k}, a_{3}, ..., a_{k - 1}$}

{$a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{k}, ..., a_{k - 1}$}

$..........................$

{$a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k}, a_{k - 1}$}

{$a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k - 1}, a_{k}$} (3)


Получим $k$ различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Возьмем следующую строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, которая будет выглядеть так (т.к. мы получили, что элемент стоящий на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо см. (1), (2), то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторым):


{$a_{2}, a_{1}, a_{3}, ..., a_{k - 1}$}


Элемент $a_{k}$ записываем в конец и начинаем "двигать" влево, меняя его с правостоящим:


{$a_{2}, a_{1}, a_{3}, ..., a_{k - 1}, a_{k}$} (4)

{$a_{2}, a_{1}, a_{3}, ..., a_{k}, a_{k - 1}$}

$..........................$

{$a_{2}, a_{1}, a_{3}, a_{k}, ..., a_{k - 1}$}

{$a_{2}, a_{1}, a_{k}, a_{3}, ..., a_{k - 1}$}

{$a_{2}, a_{k}, a_{1}, a_{3}, ..., a_{k - 1}$}

{$a_{k}, a_{2}, a_{1}, a_{3}, ..., a_{k - 1}$}


Опять получили $k$ различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Далее берем третью строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, записываем в ее начало элемент $a_{k}$ и двигаем его вправо, как для первой перестановки и т.д.


Для каждой перестановки длиной $n = k - 1$ (всего их $(k - 1)!$) мы получили $k$ новых перестановок. Итого $k\cdot(k - 1)! = k!$ перестановок. Все они различны, т.к. для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент $a_{k}$ стоит на разных позициях,а если $a_{k}$ стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной $n = k - 1$ (см. (3), (4)). Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной транспозиции (образованные от одной перестановки различны благодаря построению, от разных перестановок — имеют $a_{k}$ на одной и той же позиции, но отличаются в одной транспозиции, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, см (3), (4)). Таким образом мы получили $k!$ различных перестановок длиной $k$, отличающихся в одной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной $n$ получен.

Сведение задачи построение кода Грея для перестановок к графам

Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть граф, вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам [math]f[/math] и [math]g[/math], соединены ребром, если [math]g[/math] образуется из [math]f[/math] однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.

См. также

Литература

Романовский, И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург 2003 стр. 39-41 <\wikitex>

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Коды_Грея_для_перестановок&oldid=13142»