Процесс Каратеодори

Эта статья находится в разработке!

Шаблон:Todo

[math](X, \mathcal{R}, \mu) \to (X, 2^X, \mu^*) \to (X, \mathcal{A}, \mu)[/math]

Теорема Каратеодори

Теорема (Каратеодори):

1. [math]\mathcal{R} \subset \mathcal{A}[/math] 2. [math]\mu|_\mathcal{R} = m[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Если мы докажем, что [math]\mathcal{R} \subset \mathcal{A}[/math], то есть, любое множество полукольца хорошо разбивает любое другое, то , взяв любое [math]A \in \mathcal{R}[/math], [math]\mu^*A = \mu A[/math], так как [math]\mathcal{R} subset \mathcal{A}[/math]. Но [math]\mu^*[/math] порождена [math]m[/math] ([math]\mu^* |_\mathcal{R} = m[/math]). Но [math]A\in \mathcal{A}[/math], по определению [math]\mu^*[/math], [math]\mu^* A \leq mA \Rightarrow \mu A = mA[/math] Значит, второй пункт вытекает из первого. Докажем первый пункт. [math]\forall A \in \mathcal{R}\ \forall E \subset X[/math] нужно, чтобы [math]\mu^* E \geq \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap\bar A)[/math] Надо доказать, для [math]\mu^* E \lt +\infty[/math], обратное — очевидно. Воспользуемся тем, что [math]\mu^*[/math] порождена [math]m[/math]: [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists A_1, A_2 \ldots A_n \ldots \in \mathcal{R} : \bigcup\limits_j A_j \supset E[/math], [math]\sum\limits_j mA_j \lt \mu E + \varepsilon[/math] Пересекаем это включение с [math]A[/math] (Шаблон:Todo) [math]E \cap A \subset \bigcap\limits_j(A_j \cap A)[/math] По аксиомам полукольца, [math]A_j\cap A \in \mathcal{R}[/math]. Значит, мы получили покрытие этого множества элементами полукольца. Тогда, по определению [math]\mu^*[/math], порождённой [math]m[/math] [math]\mu^*(E\cap A) \leq \sum\limits_j m(A_j\cap A)[/math] [math]E\cap\bar A \subset \bigcup\limits_j(A_j\cap\bar A)[/math]. Однако, здесь нет гарантий, что [math]A_j\cap\bar A \in \mathcal{R}[/math]. [math]A_j\cap\bar A = A_j\setminus A = A_j\setminus (A\cap A_j)[/math], [math]A\cap A_j \in \mathcal{R}[/math] Тогда, по аксиомам полукольца, [math]A_j\setminus (A\cap A_j) = \bigcup\limits_p D_{jp}[/math] — дизъюнктны в [math]\mathcal{R}[/math]. [math]E\cap\bar A \subset \bigcup\limits_j \bigcup\limits_p D_{jp}[/math], все [math]D[/math] — из полукольца. Значит, [math]E\cap\bar A[/math] покрывается элементами полукольца, так как [math]\mu^*[/math] порождена [math]m[/math]. [math]\mu^*(E\cap\bar A) \leq \sum\limits_j \sum\limits_p mD_{jp}[/math] [math]A_j = (A_j \cap A) \cup \bigcup\limits_p D_{jp}[/math] — из полукольца. Таким образом, [math]A_j \in \mathcal{R}[/math] разбивается в дизъюнктное объединение множеств из [math]\mathcal{R}[/math]. Отсюда, по [math]\sigma[/math]-аддитивности меры, [math]mA_j = m(A\cap A_j) + \sum\limits_p mD_{jp}[/math] [math]\sum\limits_p mD_{jp} = mA_j - m(A\cap A_j)[/math] Тогда, [math]\mu^*(E\cap\bar A)\leq \sum(mA_j- m(A\cap A_j))[/math] Складываем с предыдущим неравенством. [math]\mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap\bar A) \leq \sum\limits_j mA_j \lt \mu^*E+\varepsilon[/math] При [math]\varepsilon \to 0[/math] получаем требуемое неравенство.

[math]\triangleleft[/math]

Некоторые свойства полученной меры

Установим некоторые свойства полученной меры

Определение:

Полученная мера [math]\mu[/math] — стандартное распространение по Каратеодори меры [math]m[/math] с полукольца на [math]\sigma[/math]-алгебру.

Определение:

Если [math]A\in \mathcal{A}[/math], то [math]A[/math] — [math]\mu[/math]-измеримо.

Полнота

Утверждение:

Подмножество нульмерного множества само измеримо и нульмерно

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]A\subset\mathcal{A}[/math], [math]\mu A = 0[/math], [math]B\subset A[/math], [math]E\subset X[/math] Проверим, что [math]\mu^*E\geq \mu^*(E\cap B) - \mu^*(E\cap\bar B)[/math] [math]E\cap B \in \mathcal{A}[/math] Тогда, по монотонности внешней меры, [math]\mu^*(E\cap B) \leq \mu^*A \leq \mu A = 0[/math] [math]E \cap\bar B \subset E[/math], [math]\mu^*(E\cap\bar B) \leq \mu^*E[/math] Значит, неравенство выполняется. Значит, [math]B\subset A[/math] По монотонности меры, [math]\mu B \leq \mu A[/math]. [math]\mu A = 0 \Rightarrow \mu B = 0[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Это свойство называется полнотой.

Можно считать, что распространение [math]m[/math] с [math]\mathcal{R}[/math] на [math]\sigma[/math]-алгебру приводит к полной мере.

Непрерывность(???)

Утверждение:

Пусть [math]Е \subset X[/math], [math]A\subset E\subset B[/math], [math]A, B[/math] — [math]m[/math]-измеримы, [math]\mu(B\setminus A) = 0\lt tex\gt . Тогда \lt tex\gt E \in \mathcal{A}[/math]

[math]\triangleright[/math]

В силу написанного выше ясно, что [math]E\setminus A\subset B\setminus A[/math]. Последнее множество нульмерно. Значит, по полноте меры, [math]E\setminus A = 0[/math], [math]E\in \mathcal{A}[/math]([math]E = A \cup (E\setminus A[/math])

[math]\triangleleft[/math]

Следствие

Утверждение (Критерий [math]\mu[/math]-измеримости):

Пусть [math]E\subset X[/math]. Тогда [math]E[/math]-измеримо [math]\iff[/math] [math]\forall\varepsilon\gt 0 \exists (A_\varepsilon, B_\varepsilon), A_\varepsilon, B_\varepsilon\in\mathcal{A} : A_\varepsilon \subset E \subset B_\varepsilon : \mu(A_\varepsilon\setminus B_\varepsilon) \lt \varepsilon[/math]

[math]\triangleright[/math]

Возьмём [math]\varepsilon_n = \frac1n[/math], [math]A_n = A_{\varepsilon_n}[/math], [math]B = B_{\varepsilon_n}[/math] [math]A = \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} A_n[/math], [math]B = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} B_n[/math] Приходим опять к измеримым множествам, ибо [math]\sigma[/math]-алгебра. Так как [math]A_n \subset E \subset B_n[/math], то [math]A \subset E \subset B[/math]. [math]\forall n : B\setminus A \subset B_n\setminus A_n[/math] Тогда, по монотонности меры, [math]\mu(B\setminus A)\leq \mu(B_n\setminus A_n) \lt \frac1n[/math]. [math]n \to \infty \Rightarrow \mu(B\setminus A) = 0[/math] Мы нашли пару измеримых множеств, между которыми вставлено [math]E[/math]. [math]\mu(B\setminus A) = 0[/math]. Значит, по предыдущим фактам, верно. Обратное верно, так как можно взять [math]A=B=E[/math]

[math]\triangleleft[/math]

To be continued...