Производящая функция

Производящая функция

Определение:

Производя́щая фу́нкция (generating function) — это формальный степенной ряд: [math]G(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n[/math], порождающий (производящий) последовательность [math](a_0, a_1, a_2, ...)[/math].

Применение

Производящая функция используется для:

• Нахождения зависимости [math]a_n(n)[/math] для последовательности [math]a_n[/math], заданной рекуррентным соотношением. Например, для чисел Фибоначчи.
• Исследования асимптотического поведения последовательности.
• Доказательства тождеств с последовательностями
• Решения задачи подсчета объектов в комбинаторике. Например в доказательстве пентагональной теоремы или в задаче нахождения количества расстановок m ладей на доске n × n.
• Вычисления бесконечных сумм.

Решение рекуррентных соотношений

Пусть последовательность [math](a_0, a_1, a_2, ...)[/math] удовлетворяет некоторому рекуррентному соотношению. Мы хотим получить выражение для [math]a_n[/math] (при [math]n \ge 0[/math]) в замкнутом виде (то есть выразив лишь через номер члена последовательности). Для демонстрации универсальности метода рассмотрим довольно произвольное рекуррентное соотношение:

[math]a_0=1,[/math]

[math]a_1=2,[/math]

[math]a_n=6a_{n-1}-8a_{n-2}+n, n \ge 2[/math]

Запишем производящую функцию для этой последовательности и преобразуем правую часть:

[math]G(z)=a_0+a_1z+\sum_{n=2}^\infty (6a_{n-1}-8a_{n-2}+n) z^n[/math]

[math]G(z)=a_0+a_1z+6\sum_{n=2}^\infty a_{n-1}z^n - 8\sum_{n=2}^\infty a_{n-2}z^n+\sum_{n=2}^\infty n z^n[/math]

[math]G(z)=a_0+a_1z+6z\sum_{n=1}^\infty a_{n}z^n - 8z^2\sum_{n=0}^\infty a_{n}z^n+\sum_{n=2}^\infty n z^n[/math]

[math]G(z)=a_0+a_1z+6z(G(z)-a_0) - 8z^2G(z)+\sum_{n=2}^\infty n z^n[/math]

[math]G(z)=1-4z+6zG(z) - 8z^2G(z)+\sum_{n=2}^\infty n z^n[/math]

Для того, чтобы замкнуть последнюю сумму воспользуемся очень важным приемом, который используется при преобразовании производящих функций. Фактически мы имеем дело с последовательностью [math]nb_n[/math](у нас последовательность [math]b_n[/math]-константная единица). Такая последовательность получается путём дифференцирования функции B(z) с последующим умножением результата на z:

[math]zB'(z)=z(\sum_{n=0}^\infty b_n z^n)'=z\sum_{n=1}^\infty nb_n z^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty nb_n z^n[/math]

Тогда замкнем последнее слагаемое следующим образом:

[math]\sum_{n=2}^\infty n z^n=z \sum_{n=2}^\infty n z^{n-1}= z (\sum_{n=2}^\infty z^n)'[/math]

[math]\sum_{n=2}^\infty z^n=\sum_{n=0}^\infty z^n-1-z=\frac{1}{1-z}-1-z=\frac{z^2}{1-z}[/math]

[math]z (\frac{z^2}{1-z})'=\frac{z^2(2-z)}{(1-z)^2}[/math]

Таким образом наше последнее слагаемое примет вид:

[math]G(z)=1-4z+6zG(z) - 8z^2G(z)+\frac{z^2(2-z)}{(1-z)^2}[/math]

Это уравнение для производящей функции. Из него выражаем [math]G(z)[/math]:

[math]G(z)=\frac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-6z+8z^2)(1-z)^2}[/math]