Изменения
Нет описания правки
=== Расчет дисперсии геометрического распределения ===
Метод производящих функций также используется для нахождения математического ожидания и дисперсии различных распределений в теории вероятностей. Например , в [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 геометрическом распределении] для нахождения дисперсии <tex>D(\xi)=E(\xi^2)-(E(\xi))^2</tex> нужно найти два мат. ожидания:
которые фактически являются производящими функциями последовательностей <tex>1, 2, 3...</tex> и <tex>1, 4, 9...</tex>:
* <tex dpi = "160">= p\frac{\operatorname{dE}}{(\operatorname{d}(1-pxi)}=\sum_{n=01}^{\infty}\,n p (1-p)^{n-1} =</tex>
<tex dpi = "160">= - p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\,(n+1) p (1-p)^{n} \right) =</tex>
<tex dpi = "160">= - p\fracsum_{\operatorname{d}n=0}^{\operatorname{dinfty}n p (1-p)^{n}+ \left(\fracsum_{n=1}^{\infty} p (1-p}\right) = \frac^{n-1}{p}= </tex>.
<tex dpi = "160">= (1-p) \operatorname{E}(\xi) +1 \Rightarrow \operatorname{E}(\xi) = \frac{1}{p}</tex> * <tex dpi = "160"> \operatorname{E}(\xi^2) = p\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}(1-p)^{n-1} =</tex>
<tex dpi = "160"> =p\sum_{n=1}^{\infty}n(n+1)(1-p)^{n-1} - p\sum_{n=1}^{\infty}n(1-p)^{n-1} =</tex>
<tex dpi = "160"> = p\frac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\frac{(1-p)^2}{p}\right) +p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\frac{1-p}{p}\right) =</tex>
<tex dpi = "160"> = p\cdot\frac{2}{p^3} - p\cdot\frac{1}{p^2} - \frac{1}{p^2} = \frac{2}{p^{2}} - \frac{1}{p} = \frac{1}{p^{2}}</tex>.
== Ссылки ==
