Матричное представление перестановок — различия между версиями
(→Применение) |
(→Применение) |
||
| Строка 48: | Строка 48: | ||
Благодаря последним свойствам, матрицам перестановок нашлось применение в линейной алгебре: | Благодаря последним свойствам, матрицам перестановок нашлось применение в линейной алгебре: | ||
| − | пусть задана матрица перестановки <tex>P = \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 \\ \end{pmatrix}</tex> | + | пусть задана матрица перестановки <tex>P = \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 \\ \end{pmatrix}</tex>, которая соответствует перестановке <tex>\pi = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 1 && 3 && 2 \end{pmatrix}</tex>, и матрица <tex>A = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 4 && 5 && 6 \\ 7 && 8 && 9 \\ \end{pmatrix}</tex>, |
тогда перемножив получим: | тогда перемножив получим: | ||
Версия 07:06, 19 декабря 2011
Содержание
Определение
| Определение: |
| Матрица перестановки — квадратная бинарная матрица, в каждой строке и в каждом столбце которой находится лишь одна единица. |
Каждая матрица перестановки размера является матричным представлением перестановки порядка .
Пусть дана перестановка порядка :
Соответствующей матрицей перестановки является матрица вида:
- , где — двоичный вектор длины , -й элемент которого равен единице, а остальные равны нулю.
Пример
Перестановка:
Соответствующая матрица:
Свойства
- Для любых двух перестановок их матрицы обладают свойством:
- Матрицы перестановки ортогональны, так что для каждой такой матрицы существует обратная:
- Умножение произвольной матрицы на перестановочную соответственно меняет местами её столбцы.
- Умножение перестановочной матрицы на произвольную меняет местами строки в .
Применение
Благодаря последним свойствам, матрицам перестановок нашлось применение в линейной алгебре:
пусть задана матрица перестановки , которая соответствует перестановке , и матрица ,
тогда перемножив получим:
- ,
видно, что вторая и третья строки поменялись местами;
- ,
видно, что второй и третий столбец поменялись местами.
