Марковская цепь

Определение

Определение:

Цепь Маркова — процесс, находящийся в одном из [math]n[/math] состояний. При этом, если он находится в состоянии с номером [math]i[/math], то он перейдет в состояние [math]j[/math] с вероятностью [math]p_{ij}[/math]. Матрицу [math]P = ||p_{ij}||[/math] называют матрицей переходов.

Пример марковской цепи

На матрицу переходов накладываются следующие условия:

1. [math] p_{ij} \geqslant 0 [/math]
2. [math] \forall i\ \ \sum\limits_{j} p_{ij} = 1 [/math]

Такая матрица называется стохастической.

В общем случае для марковской цепи задают вектор [math] c_0[/math]. [math]\ c_{0i} [/math] — вероятность того, что в начале процесса марковская цепь находится в состоянии [math] i [/math].

Марковскую цепь можно представить в виде графа, в котором вершины — это состояния процесса, а ребра — переходы между состояниями, и на ребре из [math] i [/math] в [math] j [/math] написана вероятность перехода из [math] i [/math] в [math] j [/math], то есть [math] p_{ij} [/math].

Состояния

Состояния марковской цепи делятся на два класса: поглощающие (существенные) и непоглощающие (несущественные).

Определение:

Состояние [math] i [/math] называют поглощающим (существенным), если [math] p_{ii} = 1 [/math]. Все остальные состояния называют непоглощающими (несущественными).

1. Достижимое состояние.
2. Возвратное состояние.
3. Периодическое состояние.

В примере на рисунке поглощающими являются состояния 3 и 4, а непоглощающими — 1 и 2.

Вероятность того, что через [math] r [/math] шагов марковская цепь будет находиться в состоянии [math] j [/math] равна [math] c_{rj} = (c_0 P^r) [j] [/math]

Смотри также

• Теорема о поглощении

• Цепь Маркова
• Андрей Андреевич Марков

Литература

• И.В. Романовский. «Дискретный анализ»