Периодическое состояние — различия между версиями
Whiplash (обсуждение | вклад) (Новая страница: «'''Периоди́ческое состоя́ние''' — это такое состояние цепи Маркова, которое навещается цеп...») |
Whiplash (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 3: | Строка 3: | ||
== Период состояния == | == Период состояния == | ||
| − | Пусть дана однородная [[ | + | Пусть дана однородная [[Марковская цепь|цепь Маркова]] с дискретным временем <math>\{X_n\}_{n \ge 0}</math> с матрицей переходных вероятностей <math>P</math>. В частности, для любого <math>n \in \mathbb{N}</math>, матрица <math>P^n = \left(p_{ij}^{(n)} \right)</math> является матрицей переходных вероятностей за <math>n</math> шагов. Рассмотрим последовательность <math> p^{(n)}_{jj},\, n \in \mathbb{N}</math>. Число |
: <math>d(j) = \gcd \left(n \in \mathbb{N} \mid p_{jj}^{(n)} > 0 \right)</math>, | : <math>d(j) = \gcd \left(n \in \mathbb{N} \mid p_{jj}^{(n)} > 0 \right)</math>, | ||
где <math>\gcd</math> обозначает наибольший общий делитель, называется '''пери́одом''' состояния <math>j</math>. | где <math>\gcd</math> обозначает наибольший общий делитель, называется '''пери́одом''' состояния <math>j</math>. | ||
Версия 10:40, 22 декабря 2011
Периоди́ческое состоя́ние — это такое состояние цепи Маркова, которое навещается цепью только через промежутки времени, кратные фиксированному числу.
Период состояния
Пусть дана однородная цепь Маркова с дискретным временем с матрицей переходных вероятностей . В частности, для любого , матрица является матрицей переходных вероятностей за шагов. Рассмотрим последовательность . Число
- ,
где обозначает наибольший общий делитель, называется пери́одом состояния .
Замечание
Таким образом, период состояния равен , если из того, что , следует, что делится на .
Периодические состояния и цепи
- Если , то состояние называется периоди́ческим. Если , то состояние называется апериоди́ческим.
- Периоды сообщающихся состояний совпадают:
- .
Таким образом период любого неразложимого класса цепи Маркова определён и равен периоду любого своего представителя. Соответственно, классы делятся на периодические и апериодические.
- Если цепь Маркова неразложима, то периоды всех её состояний совпадают и принимаемое ими общее значение называется периодом цепи. Цепь называется периодической, если её период больше единицы, и апериодической в противном случае.
