M-сводимость

Определение:

Множество натуральных чисел [math]A[/math] m-сводится ко множеству натуральных чисел [math]B[/math], если существует всюду определённая вычислимая функция [math]f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}[/math] со свойством [math]\forall{x}:x\in A\Leftrightarrow f(x)\in B[/math]. Обозначение: [math]A\le_{m}B[/math].

Определение:

[math]A[/math] m-эквивалентно [math]B[/math], если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]B\le_{m}A[/math].

Свойства

1. [math]A\le_{m}A[/math].
2. Если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]B[/math] разрешимо, то [math]A[/math] разрешимо.
3. Если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]B[/math] перечислимо, то [math]A[/math] перечислимо.
4. Если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]B\le_{m}C[/math], то [math]A\le_{m}C[/math].
5. Если [math]A\le_{m}B[/math], то [math]\overline{A}\le_{m}\overline{B}[/math].

Теорема:

Если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]A[/math] неразрешимо, то [math]B[/math] неразрешимо.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Если [math]B[/math] неразрешимо, то для любого разрешимого [math]X: X\ne B[/math]. Пусть мы хотим найти точку, в которой [math]X[/math] отличается от [math]B[/math]. Рассмотрим [math]f[/math] которая m-сводит [math]A[/math] к [math]B[/math]. [math]f^{-1}(X)[/math] будет разрешимым, как прообраз разрешимого множества. Поэтому можно найти точку [math]x[/math], в которой [math]X[/math] отличается от [math]A[/math]. Тогда [math]B[/math] будет отличаться от [math]X[/math] в точке [math]f(x)[/math]. Покажем, как вычислить номер [math]f^{-1}(X)[/math] по номеру [math]X[/math]. Рассмотрим множество [math]V=\{(x,y)|(x,f(y))\in W\}[/math], где [math]W[/math] — главная нумерация. Оно перечислимо, поскольку является прообразом перечислимого [math]W[/math] при вычислимом отображении [math](x,y)\rightarrow(x,f(y))[/math]. [math]V_n=f^{-1}(W_n)[/math]. По свойству главной нумерации, то существует всюду определенная вычислимая функция [math]g[/math], для которой [math]\forall n:W_{g(n)}=V_n=f^{-1}(W_n)[/math], то есть [math]g[/math] даёт [math]W[/math]—номер его прообраза при отображении [math]f[/math], что и требовалось.

[math]\triangleleft[/math]

Литература

• Верещагин Н., Шень А. — Вычислимые функции, 2-е изд. МЦНМО, 2002. ISBN 5-900916-36-7
• P. Odifreddi — Classical recursion theory. Elsivier, 1992. ISBN 0-444-87295-7