Определение интеграла Лебега

Эта статья находится в разработке!

TODO: ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ

Есть [math]\langle X, \mathcal{A}, \mu \rangle[/math]. Далее, мы всегда предполагаем, что [math]\mu[/math] — [math]\sigma[/math]-конечная и полная.

Пусть [math]E[/math] — измеримое множество ([math]E \in \mathcal{A}[/math]).

[math]f : E \to \mathbb{R}[/math], [math]\forall x \in E : |f(x)| \leq M[/math], [math]\mu E \lt +\infty[/math].

Разобьём [math]E[/math] на конечное число попарно дизъюнктных измеримых частей.

[math]E = \bigcup\limits_{p=1}^\infty e_p[/math] — дизъюнктные и измеримые. [math]\tau = \{e_1; e_2; \ldots e_n\}[/math] — разбиение

Утверждение:

[math]\exists[/math] хотя бы одно разбиение

[math]\triangleright[/math]

Вот оно! [math]\tau = \{E\}[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Системы чисел [math]m_p(f) = m_p = \inf\limits_{x \in e_p} f(x)[/math], [math]M_p(f) = M_p = \sup\limits_{x\in e_p} f(x)[/math] — конечны

Определение:

Верхняя и нижняя суммы Лебега-Дарбу — [math]\underline{s}(\tau) = \sum\limits_{p=1}^n m_p \mu e_p[/math], [math]\overline{s}(\tau) = \sum\limits_{p=1}^n M_p \mu e_p[/math]. Они аналогичны суммам Дарбу для интеграла Римана.

Определение:

[math]\tau_1, \tau_2[/math] — разбиения. Если [math]\forall e \in \tau_1[/math] содержится в каком-то [math]e' \in \tau_2[/math], то [math]\tau_1[/math] мельче [math]\tau_2[/math], [math]\tau_1 \leq \tau_2[/math].

Лемма:

1. [math]\underline{s}(\tau) \leq \overline{s}(\tau)[/math] 2. [math]\tau_1 \leq \tau_2 \Rightarrow \underline{s}(\tau_2) \leq \underline{s}(\tau_1)[/math], [math]\overline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)[/math] 3. [math]\forall \tau_1, \tau_2 : \underline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)[/math]

На базе этой леммы вы видим: [math]\underline{L} = \sup\limits_{\tau} \underline{s}(\tau)[/math], [math]\overline{L} = \inf\limits_{\tau} \overline{s}(\tau)[/math], то из леммы следует: [math]\underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau)[/math].

Определение:

Если [math]\underline{L} = \overline{L}[/math], то [math]f[/math] — интегрируемая по Лебегу на [math]E[/math], общее значение этих чисел — интеграл Лебега, [math]\underline{L}=\overline{L} = \int\limits_E f d\mu[/math].

Теорема:

Пусть [math]f[/math]— измерима и ограничена на [math]E[/math], [math]\mu E \lt +\infty[/math]. Тогда [math]f[/math]— интегрируемая по Лебегу на [math]E[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]f[/math] — ограничена [math]\Rightarrow[/math] [math]\exists M \gt 0 \forall x : |f(x)| \lt M [/math]. Разобьём [math][-M; M][/math] на [math]n[/math] равных частей. [math]y_k = -M + \frac{2M}nk[/math], [math]k = 0..n[/math] [math]e_k = E(y_k \leq f(x) \leq y_{k+1})[/math]. В силу измеримости [math]f[/math] — это измеримое множество, так как, [math]-M \leq f(x)\leq M[/math], [math]E = \bigcup\limits_{k=0}^{n-1} E_k[/math], все дизъюнктны. Итак, мы получили разбиение [math]E[/math] [math]m_k = \inf\limits_{x\in e_k}f(x) \gt y_k[/math], [math]M_k = \sup\limits_{x \in e_k}f(x) \leq y_{k+1}[/math] [math]\mu e_k \geq 0[/math]. [math]\sum\limits_{k=0}^{n-1}y_k \mu e_k \leq \underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau) \leq \sum\limits_{k=0}^{n-1}y_{k+1}\mu e_k[/math] [math]0 \leq \overline{L} - \underline{L} \leq \sum\limits_{k=0}^{n-1}(y_{k+1} - y_k) \mu e_k = \frac{2M}n \sum\limits_{k=0}^{n-1}\mu e_k = \frac{2M}n\mu E[/math] [math]0 \leq \overline{L} - \underline{L} \leq \frac{2M}n \mu E[/math] [math]n[/math] — произвольное, натуральное. Устремляем к бесконечности.

[math]\triangleleft[/math]

Замечание. На самом деле, можно доказать и обратное. Факт существования интеграла Лебега функции необходимо влечёт её измеримость.

Сравнение с интегралом Римана

Теперь сравним интеграл Римана по отрезку с интегралом Лебега по тому же самому отрезку.

Теорема:

[math]f\in\mathcal{R}(a;b) \Rightarrow f \in \mathcal{L}[/math]. Существует интеграл Лебега [math]\int\limits_{[a;b]} fd\lambda = \int\limits_a^b fdx[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Раз функция интегрируема по Риману, то между нижней и верхней суммами Дарбу можно вставить только одно число — интеграл Римана. Для дальнейших построений воспользуемся тем, что если если [math]\inf[/math] берётся по подмножествам, то он не может убывать. Аналогично, [math]\sup[/math]— возрастать. Всё это вместе: раз интеграл Римана — общее значение соответствующих граней нижней и верхних сумм Дарбу. [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists \tau = \{a = x_0 \lt x_1 \lt \cdots \lt x_n = b\}[/math] [math]\int\limits_a^b f(x)dx - \varepsilon \lt \underline{s^D}(\tau) \leq \overline{s^D}(\tau) \lt \int\limits_a^b f(x)dx + \varepsilon[/math] Имея теперь разбиение отрезка точками, создадим на его базе разбиение отрезка на попарно дизъюнктные множества: [math]\{[x_0; x_1), [x_1; x_2), \ldots, [x_n-1; x_n), \{x_n\}\}[/math] — разбиение отрезка [math][a;b][/math] на попарно дизъюнктные измеримые по Лебегу множества. Значит, так как [math]\inf\limits_{[x_k; x_{k+1}]}f(x) \leq \inf\limits_{[x_k; x_{k+1})}f(x)[/math], [math]\sup\limits_{[x_k; x_{k+1})}f(x) \leq \sup\limits_{[x_k; x_{k+1}]}f(x)[/math] и [math]\lambda \{x_n\} = 0[/math], приходим к неравенствам [math]\underline{s^D}(\tau) \leq \underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau) \leq \overline{s^D}(\tau)[/math] Сопоставляя это с прошлым неравенством, приходим к выводу, что [math]\int\limits_a^b f(x)dx - \varepsilon \lt \underline{L} \leq \overline{L} \lt \int\limits_a^b f(x)dx[/math] Здесь только одна переменная — [math]\varepsilon[/math]. При [math]\varepsilon \to 0[/math] победа, [math]\int\limits_a^b f(x)dx = \int\limits_{[a; b]}fd\lambda[/math]

[math]\triangleleft[/math]

С другой стороны, [math]f(x) = \begin{cases}0, & x \in \mathbb{Q}\\1, & x \notin \mathbb{Q}\end{cases}, f \notin \mathcal{R}(0; 1)[/math]

С другой стороны, она кусочно-постоянная на оси. [math]\mathbb{Q}[/math]— измеримое по Лебегу, ибо счётно. Значит, [math]f[/math]— измеримо на всей оси, а значит, и на [math][0; 1][/math]. Тогда по доказанному выше(намного выше [math]\smile[/math]) теореме, она интегрируема по Лебегу на [math][0; 1][/math]. Однако, по Риману она не интегрируема. Выходит, на [math]\mathbb{R}[/math] интеграл Лебега — распространение интеграла Римана на отрезке.