Изменения

Пусть <tex> E \subset \mathbb R ^n</tex>. Тогда <tex> \lambda^*E = \inf\limits_{G: E \subset G} \lambda G </tex> (<tex> G </tex> - открытые множества).

пыщьТак как <tex> E \subset G </tex>, то, по монотонности внешней меры, <tex> \lambda^* E \le \lambda^* G = \lambda G </tex>. Переходя к верхней грани, получаем <tex> \lambda^*E \le \inf\limits_{G: E \subset G} \lambda G </tex>. Докажем теперь противоположное неравенство.Как обычно, будем рассматривать случай <tex> \lambda^* E < +\infty </tex>, для <tex> \lambda^* E = +\infty </tex> оно тривиально. Внешняя мера Лебега порождена функцией объема на полукольце ячеек. Значит, <tex> \forall \varepsilon > 0: E \subset \bigcup\limits_{m} A_m </tex> -пыщьобъединение ячеек, такое, что <tex> \sum\limits_{m} v(A_m) < \lambda^* E + \varepsilon </tex>. За счет непрерывности объема, для любого <tex> A_m </tex> существует <tex> B_m </tex> - открытый параллелепипед, такой, что <tex> A_m \subset B_m </tex> и <tex> v(B_m) < v(A_m) + \frac{\varepsilon}{2^m} </tex>. <tex> A_m \subset B_m </tex>, поэтому <tex>E \subset \bigcup\limits_m B_m = G, G </tex> - открытое множество. <tex> \sum\limits_m v(A_m) \le \sum\limits_m A_m + \varepsilon \sum\limits_m \frac1{2^m} = \sum\limits_m A_m + \varepsilon </tex> Как мы ранее выяснили, <tex> \sum\limits_{m} v(A_m) < \lambda^* E + \varepsilon </tex>, поэтому, <tex> \sum\limits_m v(B_m) < \lambda^* E + 2\varepsilon </tex>. Так как <tex> G = \bigcup\limits_m B_m </tex>, то <tex> \lambda G \le \sum\limits_m v(B_m) </tex>. Значит, для любого <tex> \varepsilon > 0 </tex> есть открытое <tex> G </tex>, содержащее <tex> E </tex>, такое, что <tex> \lambda G < \lambda^* E + 2\varepsilon </tex>. При <tex> \varepsilon \rightarrow 0 </tex> получаем требуемое неравенство.