Решение задач по логике — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «== Вывод утверждений из аксиом == Докажем, что <tex>a\&b \rightarrow b\&a</tex>. По теореме о дедукции, если...»)
 
Строка 11: Строка 11:
 
# <tex>a \rightarrow b \& a</tex> {{---}} modus ponens 5, 6
 
# <tex>a \rightarrow b \& a</tex> {{---}} modus ponens 5, 6
 
# <tex>b \& a</tex> {{---}} modus ponens 3, 7
 
# <tex>b \& a</tex> {{---}} modus ponens 3, 7
 +
 +
Докажем то же самое, только без использования теоремы о дедукции.
 +
 +
# <tex>a \&b \rightarrow (a \& b \rightarrow a \& b)</tex> {{---}} схема аксиом 1
 +
# <tex>(a \& b \rightarrow (a \& b \rightarrow a \& b)) \rightarrow (a \& b \rightarrow ((a \& b \rightarrow a \& b) \rightarrow a \&b)) \rightarrow (a \& b \rightarrow a \& b)</tex> {{---}} схема аксиом 2
 +
# <tex>(a \& b \rightarrow ((a \& b \rightarrow a \& b) \rightarrow a \& b)) \rightarrow (a \& b \rightarrow a \& b)</tex> {{---}} modus ponens 1, 2
 +
# <tex>a \& b \rightarrow ((a \& b \rightarrow a \& b) \rightarrow a \& b)</tex> {{---}} схема аксиом 1
 +
# <tex>a \& b \rightarrow a \& b</tex> {{---}} modus ponens 4, 3
 +
# <tex>a \& b \rightarrow a</tex> {{---}} схема аксиом 4
 +
# <tex>b \rightarrow a \rightarrow b \& a</tex> {{---}} схема аксиом 3
 +
# <tex>(b \rightarrow a \rightarrow b \& a) \rightarrow (a \& b \rightarrow (b \rightarrow a \rightarrow b \& a))</tex> {{---}} схема аксиом 1
 +
# <tex>a \& b \rightarrow (b \rightarrow a \rightarrow b \& a)</tex> {{---}} modus ponens 8, 9
 +
# <tex>a \& b \rightarrow b</tex> {{---}} схема аксиом 5
 +
# <tex>(a \& b \rightarrow b) \rightarrow (a \& b \rightarrow b \rightarrow a \rightarrow b \& a) \rightarrow (a \& b \rightarrow a \rightarrow b \& a)</tex> {{---}} схема аксиом 2
 +
# <tex>(a \& b \rightarrow b \rightarrow a \rightarrow b \& a) \rightarrow (a \& b \rightarrow a \rightarrow b \& a)</tex> {{---}} modus ponens 10, 11
 +
# <tex>a \& b \rightarrow a \rightarrow b \& a</tex> {{---}} modus ponens 9, 12
 +
# <tex>(a \& b \rightarrow a) \rightarrow (a \& b \rightarrow a \rightarrow b \& a) \rightarrow (a \&b \rightarrow b \& a)</tex>
 +
# <tex>(a \& b \rightarrow a \rightarrow b \& a) \rightarrow (a \& b \rightarrow b \& a)</tex> {{---}} modus ponens 6, 14
 +
# <tex>a \& b \rightarrow b \& a</tex> {{---}} modus ponens 13, 15

Версия 08:29, 14 января 2012

Вывод утверждений из аксиом

Докажем, что [math]a\&b \rightarrow b\&a[/math]. По теореме о дедукции, если [math]a \& b \vdash b\& a[/math], то [math]\vdash a \& b \rightarrow b \& a[/math].

  1. [math]a \& b[/math] — по предположению
  2. [math]a \& b \rightarrow a[/math] — схема аксиом 4
  3. [math]a[/math] — modus ponens 1, 2
  4. [math]a \& b \rightarrow b[/math] — схема аксиом 5
  5. [math]b[/math] — modus ponens 1, 4
  6. [math]b \rightarrow a \rightarrow b \& a[/math] — схема аксиом 3
  7. [math]a \rightarrow b \& a[/math] — modus ponens 5, 6
  8. [math]b \& a[/math] — modus ponens 3, 7

Докажем то же самое, только без использования теоремы о дедукции.

  1. [math]a \&b \rightarrow (a \& b \rightarrow a \& b)[/math] — схема аксиом 1
  2. [math](a \& b \rightarrow (a \& b \rightarrow a \& b)) \rightarrow (a \& b \rightarrow ((a \& b \rightarrow a \& b) \rightarrow a \&b)) \rightarrow (a \& b \rightarrow a \& b)[/math] — схема аксиом 2
  3. [math](a \& b \rightarrow ((a \& b \rightarrow a \& b) \rightarrow a \& b)) \rightarrow (a \& b \rightarrow a \& b)[/math] — modus ponens 1, 2
  4. [math]a \& b \rightarrow ((a \& b \rightarrow a \& b) \rightarrow a \& b)[/math] — схема аксиом 1
  5. [math]a \& b \rightarrow a \& b[/math] — modus ponens 4, 3
  6. [math]a \& b \rightarrow a[/math] — схема аксиом 4
  7. [math]b \rightarrow a \rightarrow b \& a[/math] — схема аксиом 3
  8. [math](b \rightarrow a \rightarrow b \& a) \rightarrow (a \& b \rightarrow (b \rightarrow a \rightarrow b \& a))[/math] — схема аксиом 1
  9. [math]a \& b \rightarrow (b \rightarrow a \rightarrow b \& a)[/math] — modus ponens 8, 9
  10. [math]a \& b \rightarrow b[/math] — схема аксиом 5
  11. [math](a \& b \rightarrow b) \rightarrow (a \& b \rightarrow b \rightarrow a \rightarrow b \& a) \rightarrow (a \& b \rightarrow a \rightarrow b \& a)[/math] — схема аксиом 2
  12. [math](a \& b \rightarrow b \rightarrow a \rightarrow b \& a) \rightarrow (a \& b \rightarrow a \rightarrow b \& a)[/math] — modus ponens 10, 11
  13. [math]a \& b \rightarrow a \rightarrow b \& a[/math] — modus ponens 9, 12
  14. [math](a \& b \rightarrow a) \rightarrow (a \& b \rightarrow a \rightarrow b \& a) \rightarrow (a \&b \rightarrow b \& a)[/math]
  15. [math](a \& b \rightarrow a \rightarrow b \& a) \rightarrow (a \& b \rightarrow b \& a)[/math] — modus ponens 6, 14
  16. [math]a \& b \rightarrow b \& a[/math] — modus ponens 13, 15
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Решение_задач_по_логике&oldid=16640»