Цепные дроби как приближение к числу — различия между версиями
(→Доказательство) |
(→Доказательство) |
||
Строка 5: | Строка 5: | ||
Для любого иррационального числа <math>\alpha</math> существует бесконечное число дробей <math>\frac{P}{Q}</math> таких, что <math>~|\alpha-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{2Q^2}</math> | Для любого иррационального числа <math>\alpha</math> существует бесконечное число дробей <math>\frac{P}{Q}</math> таких, что <math>~|\alpha-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{2Q^2}</math> | ||
===Доказательство=== | ===Доказательство=== | ||
− | Рассмотрим две последующие подходящие дроби к <math>\alpha : \frac{P_k}{Q_k} </math> и <math> \frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</math>. Пусть ни одна из них не удовлетворяет условию теоремы. Тогда имеем: <math>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|\geqslant\frac{1}{2Q_k^2}, ~|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}|\geqslant\frac{1}{ | + | Рассмотрим две последующие подходящие дроби к <math>\alpha : \frac{P_k}{Q_k} </math> и <math> \frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</math>. Пусть ни одна из них не удовлетворяет условию теоремы. Тогда имеем: <math>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|\geqslant\frac{1}{2Q_k^2}, ~|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}|\geqslant\frac{1}{2Q_{k+1}^2}</math>. Отсюда <math>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|+~|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}|\geqslant\frac{1}{2Q_k^2}+\frac{1}{2Q_{k+1}^2}</math>. |
Но поскольку <math>\alpha</math> лежит между <math>\frac{P_k}{Q_k}</math> и <math>\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</math>, то <math>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|+~|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| = ~|\frac{P_k}{Q_k}-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| = \frac{1}{Q_k Q_{k+1}}</math>, вследствие чего <math>\frac{1}{2Q_k^2}+\frac{1}{2Q_{k+1}^2}\leqslant\frac{1}{Q_k Q_{k+1}}</math>. Следовательно <math>(\frac{1}{Q_k}-\frac{1}{Q_{k+1}})^2 \leqslant 0</math>, что невозможно. Мы пришли к противоречию. Поэтому по крайней мере для одной из двух подходящих дробей выполнено условие теоремы. Придавая различные значения k, получим бесконечное множество дробей, удовлетворяющих условию теоремы. q.e.d. | Но поскольку <math>\alpha</math> лежит между <math>\frac{P_k}{Q_k}</math> и <math>\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</math>, то <math>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|+~|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| = ~|\frac{P_k}{Q_k}-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| = \frac{1}{Q_k Q_{k+1}}</math>, вследствие чего <math>\frac{1}{2Q_k^2}+\frac{1}{2Q_{k+1}^2}\leqslant\frac{1}{Q_k Q_{k+1}}</math>. Следовательно <math>(\frac{1}{Q_k}-\frac{1}{Q_{k+1}})^2 \leqslant 0</math>, что невозможно. Мы пришли к противоречию. Поэтому по крайней мере для одной из двух подходящих дробей выполнено условие теоремы. Придавая различные значения k, получим бесконечное множество дробей, удовлетворяющих условию теоремы. q.e.d. | ||
Версия 23:39, 20 июня 2010
Цепные дроби позволяют находить рациональные приближения вещественных чисел. Если действительное иррациональное число
разложить в цепную дробь, то точность n-ой подходящей дроби будет соответствовать следующему неравенству:Теорема 1
Теорема 2
Для любого иррационального числа
существует бесконечное число дробей таких, чтоДоказательство
Рассмотрим две последующие подходящие дроби к
и . Пусть ни одна из них не удовлетворяет условию теоремы. Тогда имеем: . Отсюда . Но поскольку лежит между и , то , вследствие чего . Следовательно , что невозможно. Мы пришли к противоречию. Поэтому по крайней мере для одной из двух подходящих дробей выполнено условие теоремы. Придавая различные значения k, получим бесконечное множество дробей, удовлетворяющих условию теоремы. q.e.d.Теорема 3
Для любого иррационального числа
существует бесконечное число дробей таких, чтоДоказательство
Рассмотрим три последующие подходящие дроби к
и . Пусть ни одна из них не удовлетворяет условию теоремы. Тогда имеем: .