Функциональный анализ

Здесь я постараюсь написать теоретический минимум по второй части курса функционального анализа.

Большая часть материала взята из Википедии, чтобы не перебивать формулы и все такое. Все остальное бралось из конспектов, лучший из них лежит на firun.ru

Если вы читаете это, самоуничтожьтесь.

Да, да, функциональный анализ — раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства (в основном пространства функций) и их отображения.

Краткое содержание предыдущего семестра

• Метрическое пространство [math]M[/math] есть множество точек с метрикой [math]d \colon M \times M \to \mathbb{R}[/math]:

1. [math]d(x,\;y) \ge 0 ; d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y[/math].
2. [math]d(x,\;y)=d(y,\;x)[/math].
3. [math]d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z)[/math].

• Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.

• Банаховым пространством (B-пространством) называется нормированное линейное пространство полное по метрике, порождённой нормой.

• Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке [math][a,b][/math] функции (обычно обозначается [math]{\mathrm C}[a,b][/math]). Норма в этом пространстве определяется следующим образом: [math]||x||_{{\mathbf C}[a,b]}=\max_{t\in [a,b]}|x(t)|[/math]

• Теорема Рисса — Фреше: Для любого непрерывного линейного функционала [math]f[/math] на Гильбертовом пространстве [math] H[/math] существует единственный вектор [math]y \in H[/math] такой, что [math]f(x)= \langle x,y \rangle[/math] для любого [math]x \in H[/math]. При этом норма линейного функционала [math]f[/math] совпадает с нормой вектора [math]y[/math]: [math]\|f\|=\sup_{\|x\|=1} |f(x)|= \sqrt{\langle y,y \rangle}[/math]. Теорема также означает, что пространство всех линейных ограниченных функционалов над [math]H[/math] изоморофно пространству [math]H[/math].

• Теорема (Хан-Банах) о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты: любой линейный функционал [math]f(x)[/math], определённый на подпространстве [math]L[/math] линейного пространства [math]X[/math] и удовлетворяющий условию [math]|f(x)| \leq p(x), \forall x \in L[/math], где [math]p(x)[/math] — некоторый положительно однородный функционал (определённый на всем пространстве [math]X[/math]) то [math]f(x)[/math] может быть продолжен на все пространство [math]X[/math] с сохранением этого условия.

• Теорема (Хан-Банах) о непрерывном продолжении линейного функционала: всякий линейный функционал [math]f(x)[/math], определённый на линейном многообразии [math]L[/math] линейного нормированного пространства [math]X[/math], можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.

• Следствие: для любых двух различных точек линейного пространства существует линейный функционал, определённый на всем пространстве и такой, что его значения в этих точках различны.

• Ядром линейного отображения [math]f\colon A\to B[/math] называются подмножество [math]A[/math], которое отображается в нуль: [math]\mbox{Ker}\,f = \{ x\in A\mid f(x) = 0 \}[/math]. Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве [math]A[/math].

• Пусть [math]A[/math] — оператор, действующий в банаховом пространстве [math]E[/math]. Число λ называется регулярным для оператора [math]A[/math], если оператор [math]R(\lambda)=(A - \lambda I)^{-1}[/math], называемый резольвентой оператора [math]A[/math], определён на всём [math]E[/math] и непрерывен. Множество регулярных значений оператора [math]A[/math] называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора.

Билеты

1. Сопряженный оператор и его ограниченность

Будем работать с [math]E[/math], как с банаховым пространством.

Def: Пространство всех линейных функционалов на [math]E[/math] образует линейное пространство (прошлый семестр). Это пространство называется сопряжённым к [math]E[/math], оно обычно обозначается [math]E^*[/math].

Def: Пусть [math]A:E\to F[/math] — непрерывный линейный оператор действующий из банахова пространства [math]E[/math] в банахово пространство [math]F[/math]. И пусть [math]E^*, F^*[/math] — сопряжённые пространства. Обозначим [math]\forall x\in E, f\in F^* \langle Ax,f\rangle =f(Ax)[/math]. Если [math]f[/math] — фиксировано, то [math]\langle Ax,f \rangle [/math] — линейный непрерывный функционал в [math]E, \langle Ax,f \rangle \in E^*[/math]. Таким образом, для [math]\forall f\in F^*[/math] определён линейный непрерывный функционал из [math]E^* [/math], поэтому определён оператор [math]A^*:F^*\to E^*[/math], такой что [math]\langle Ax,f \rangle=\langle x,A^*f \rangle[/math]. [math]A^*[/math] называется сопряжённым оператором.

Th: Пусть задан линейный оператор [math]A:E\to F[/math]. Тогда норма оператора [math]A^*:F^*\to E^*[/math] совпадает с нормой [math]A[/math].

(оператор проектирования ??)

2. Ортогональные дополнения Е и Е*

Def: Пусть [math]S[/math] некоторое линейное множество. Тогда его ортогональное дополнение [math]S^\perp = \{f \in E^* | f(x) = 0 \; \forall x \in S\}[/math].

Th: Имеют место соотношения: [math]E^\perp = \{0\}[/math]; [math](E^*)^\perp = \{0\}[/math].

(при доказательстве используем теорему Хана-Банаха)

3. Ортогональное дополнение R(A)

(Здесь можно написать красивый текст из конспекта про важность теорем и все такое)

Th: Пусть задан линейный оператор [math]A:E\to F[/math], где [math]E[/math] и [math]F[/math] банаховы. Тогда [math]\overline{R(A)} = (Ker(A^*))^\perp[/math].

4. Ортогональное дополнение R(A*)

Th: Пусть множество значений оператора [math]A[/math] замкнуто: [math]R(A) = Cl(R(A))[/math]. Тогда верно [math]R(A^*) = Cl(R(A^*)) = (Ker(A))^\perp[/math].

---

5. Арифметика компактных операторов

Def: Линейный оператор [math]A:E\to F[/math] называется компактным, если он переводит любое ограниченное множество из [math]E[/math] в относительно компактное множество в [math]F[/math].

Примером является оператор Фредгольма: [math]\psi(s) = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt[/math].

Установим несколько свойств:

Th: Пусть операторы [math]A, B:E\to E[/math] такие, что [math]A[/math] компактен, а [math]B[/math] ограничен. Тогда операторы [math]AB[/math] и [math]BA[/math] компактны.

6. О компактности А*, сепарабельность R(A)

Теорема о компактности сопряженного оператора

7. Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве

Def: Система векторов [math]\{e_n\}[/math] топологического векторного пространства [math]E[/math] называется базисом Шаудера, если каждый элемент [math]f \in E[/math] разлагается в единственный, сходящийся к [math]f[/math] ряд по [math]\{e_n\}[/math]: [math]f= \sum_{i=1}^{\infty} f_i e_i[/math], где [math]f_i[/math] — числа, называемые коэффициентами разложения вектора [math]f[/math] по базису [math]\{e_n\}[/math].

8. Почти конечномерность компактного оператора

---

Теперь походим вокруг альтернативы Фредгольма-Шаудера.

9. О размерности Ker(I-A) компактного А

Утв. Пусть [math] A [/math] - компактный оператор, [math] H = I - A [/math]. Тогда, [math] dim (Ker H)\lt +\infty [/math]

Следствие Множество решений операторного уравнения [math] Ax = \lambda x, \lambda \in \mathbb{R} [/math] конечномерно.

10. Условие замкнутости R(A) на языке решений операторного уравнения

Утв. Пусть [math] A \in L(E, F) [/math] и [math] \exists \alpha = const : \forall y \in R(A), y = A(x), \exists x \in E : \|x\| \le \alpha \|y\| [/math]. Тогда, [math] R(A) [/math] - замкнуто.

11. О замкнутости R(I-A) компактного А

Утв. Пусть оператор [math] A [/math] - компактный. Тогда, [math] R(I - A) [/math] - замкнуто.

12. Лемма о Ker(I-A)*n компактного А

Утв. Пусть оператор [math]A[/math] - компактный. Тогда [math] \exists k \in \mathbb{N}[/math]: [math]Ker(I - A)^{k + 1} = Ker(I - A)^k[/math]

13. Об условии справедливости равенства R(I-A)=Е

Утв. Пусть [math] A [/math] - компактный оператор. Тогда, [math] R(I - A) = E \Leftrightarrow Ker(I - A) = \{0\}[/math]

14. Альтернатива Фредгольма-Шаудера

Th. (Альтернатива Фредгольма-Шаудера)

Пусть [math] A : E \rightarrow E [/math] - компактный оператор, [math]E - B[/math]-пространство.

Тогда, [math] \forall \lambda \neq 0[/math] возможны только 2 случая:

1. [math] Ker(\lambda I - A) = \{0\} \Rightarrow \lambda \in \rho(A) [/math]
2. [math] Ker(\lambda I - A) \neq \{0\} \Rightarrow [/math] (уравнение [math](\lambda I - A)x = y[/math] разрешимо относительно [math]x) \Leftrightarrow y \in (Ker(\lambda I^{*} - A^{*}))^{\bot}[/math]

15. О спектре компактного оператора

---

Теперь это называется Теорией Гильберта-Шмидта

16. О вещественности спектра ограниченного самосопряженного оператора

Утв. Пусть [math] A [/math] - ограниченный и самосопряженный оператор. Тогда, [math]\sigma(A) \subset \mathbb{R}[/math]

17. О характеризации спектра и резольвентного множества ограниченного самосопряженного оператора

Th. Пусть [math] A [/math] - ограниченный и самосопряженный оператор. Тогда,

1. [math] \lambda \in \rho(A) \Leftrightarrow \exists m \gt 0 : \|(\lambda I - A)x\| \ge m \|x\| [/math]
2. [math] \lambda \in \sigma(A) \Leftrightarrow \exists \{x_n | \|x_n\| = 1\}[/math], т.ч. [math] \lim_{n \rightarrow \infty}\|(\lambda I - A)x_n\| = 0 [/math]

18. О числах m- и m+

Def. [math] m_{-} = \inf_{\|x\| = 1}\langle Ax, x \rangle[/math]

Def. [math] m_{-} = \sup_{\|x\| = 1}\langle Ax, x \rangle[/math]

Def. Если для некоторого оператора [math]L : \langle Ax, x \rangle \ge 0 [/math], то [math]L[/math] называется неотрицательным.

Th. Пусть [math]A[/math] - ограниченный и самосопряженный оператор. Тогда, [math]\sigma(A) \subset [m_{-}, m_{+}][/math], и [math]m_{-} \in \sigma(A), m_{+} \in \sigma(A)[/math]

19. Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора

Th. Пусть [math]A[/math] - ограниченный, самосопряженный оператор. Тогда, [math]\|A\| = r_{\sigma} = \max\{|m_{-}|, |m_{+}|\}[/math]

21. О диагонализации компактного самосопряженного оператора и разложении его резольвенты

---

Элементы нелинейного функционального анализа.

22. Теорема Банаха о сжимающем отображении

Def: Пусть на замкнутом шаре [math]\overline{V} \subset X[/math], где [math]X[/math] - метрическое пространство, определён оператор [math]A: \overline{V} \subset X \to X[/math]. Он называется сжатием на [math]\overline{V}[/math], если [math]\exists\alpha\in(0; 1)[/math] такой, что для [math]{\forall}x,y \in M[/math] выполняется [math]{\rho(Ax,Ay)\leqslant\alpha{\cdot}\rho(x,y)}[/math].

Th.(Банаха о неподвижной точке) Пусть [math]T : \overline{V} \to \overline{V}[/math] и является сжатием, тогда в этом шаре у оператора [math]T[/math] [math]\exists ![/math] неподвижная точка.

Теорема Банаха о неподвижной точке

23. Дифференциал Фреше

Рассмотрим [math]T : V_r(x_0) \to Y[/math], где [math]V_r(x_0) \subset X[/math] и, кроме того, [math]X, Y[/math] - нормированные пространства.

Пусть [math]\|\delta x \| \lt r[/math]. Тогда, очевидно, [math]x + \delta x \in V_r(x_0)[/math].

Обозначим [math]\delta T(x_0, \delta x) = T(x_0 + \delta x) - T(x_0)[/math].

Def. Отображение [math]T[/math] называется дифференцируемым по Фреше в точке [math]x_0[/math], если существует оператор [math]A_{x_0} \in L(X,Y)[/math] такой, что [math]\delta T(x_0, \delta x) = A_{x_0}(\delta x) + o(\delta x)[/math], где [math]o(\delta x)[/math] несёт следующий смысл: [math]\frac{ {\|o(\delta x)\|}_Y } {{\| \delta x \|}_X} \to 0[/math].

Обычно, в случае дифференцируемого отображения используют следующее обозначение: [math]T_{x_0}' = A_{x_0}[/math]. Подчеркнем, что [math]T_{x_0}': X \to Y[/math]. Аргументом является "отклонение" некоторой точки [math]x'[/math] от [math]x_0[/math]: [math]x - x_0[/math]. А результат применения оператора: [math]T(x') - T(x_0)[/math] с точностью до [math]o(\delta x = x' - x)[/math].

Lm. Рассмотрим оператор [math]T(x, t) =\int_0^1 K(t,s,x(s))ds[/math], действующий на [math]x(t) \in C[0,1][/math], и где [math]K = W(v, y, z); v, y \in [0, 1][/math], [math] z \in \mathbb R[/math], и существует непрерывная по [math]v, y, z[/math] производная [math]\frac{\partial K}{\partial z}[/math]. Тогда в любой точке пространства [math]C[0,1][/math] это отображение дифференцируемо и его производная Фреше задается интегральным линейным по [math]\delta x[/math]оператором: [math]T_{x_0}'(\delta x, t) = \int_0^1 \frac{\partial K}{\partial z}(t, s, x_0(s))\delta x(s) ds[/math].

24. Неравенство Лагранжа

Lm. (Неравенство Лагранжа) Пусть [math]X, Y[/math] -- нормированные пространства, [math]V[/math] -- некоторый шар в [math]X[/math] и дан оператор [math]T : V \to Y[/math] и на всем этом шаре [math]\exists T'(x)[/math]. Тогда для любых [math]a, b \in V : \|T(b) - T(a)\| \le M {\|b - a\|}_X[/math], где [math]M = sup_{x \in [a, b]}\|T'(x)\|[/math].

25. Локальная теорема о неявном отображении

Th.(о неявном отображении)

Пусть [math]V[/math] - шар в [math] X, V \subset X[/math], а [math]W \subset Y[/math] - шар в [math]Y[/math], и задан оператор [math]T : {V} \times {W} \rightarrow Y[/math].

Пусть [math]x_0 \in V,\: y_0 \in W,\: T(x_0, y_0) = 0 \in Y[/math].

Пусть [math] \forall x \in V, \forall y \in W \quad \exists T^{'}_y [/math] - дифференциал Фреше, непрерывный как отображение переменных [math]x[/math] и [math]y[/math].

Пусть также [math]T^{'}_{y}(x_0, y_0)[/math] - непрерывно обратим.

Тогда задача о неявном отображении для [math]T(x, y) = 0[/math] c начальным решением [math]T(x_0, y_0) = 0[/math] разрешима в некоторых окрестностях точек [math]x_0, y_0[/math], а именно: для любого [math]x' \in V_{\delta_1}(x_0)[/math] существует единственное [math]y' \in V_{\delta_2}(y_0) : T(x', y') = 0[/math] .

26. Теорема о локальной обратимости отображения

Следствие локальной теоремы о неявном отображении

Дано отображение [math]T : V_r(x_0) \subset X \to V_r(y_0) \subset Y[/math]. [math]T(x_0, y_0) = 0[/math]. Если существует непрерывно-обратимое отображение [math]T_x '(x_0)[/math], то для любого [math]y \in V_{\delta_2}(y_0)[/math] существует единственный [math]x \in V_{\delta_1}(x_0) : T(x) = y[/math].

27. Локальная теорема о простой итерации

Th.(о простой итерации) [math]T: V \subset X \to X[/math] и существует [math]\overline{x} \in V : \overline{x} = T(\overline{x})[/math]. Кроме того, пусть [math]\|T'(\overline{x})\| \lt 1[/math]. Тогда [math]\exists \delta : \forall x_0 \in V_\delta(\overline{x})[/math] и [math]x_{n + 1} = T(x_n)[/math] выполнено [math]lim(x_n) = \overline{x}[/math].

28. Локальная теорема о методе Ньютона-Канторовича

Th.(о методе Ньютона-Канторовича) [math]F : V \to X, \exists \overline{x} \in V : F(\overline{x}) = 0[/math]. Кроме этого, пусть на [math] V[/math] [math] \exists F'(x)[/math], непрерывная на нем. Тогда существует окрестность точки [math]\overline{x}[/math], в которой метод Ньютона-Канторовича осуществим. Т.е. [math]\exists \delta \gt 0 : x_0 \in V_\delta(\overline{x}), x_{n + 1} = x_n - (F_{x_n}')^{-1}(F(x_n))[/math] и тогда: [math] lim(x_n) = \overline{x} [/math].

29. О проекторах Шаудера

Lm.(о проекторах Шаудера) Пусть [math]T: D \subset X \to X[/math], где [math]X[/math] -- нормированное пространство. Тогда существует последовательность компактных операторов [math]T_n: T_n \rightrightarrows T[/math] на D, и при этом [math]\forall T_n[/math] лежит в конечномерном подпространстве [math]X[/math].

30. Теорема Шаудера о неподвижной точке

Th.(Шаудера) Если [math]D[/math] -- ограниченное выпуклое замкнутое множество в Банаховом пространстве [math]X[/math] и оператор [math]T : D \to D[/math], то у этого оператора на [math]D[/math] существует неподвижная точка.