Изменения

'''Бинарным отношением''' ''<tex>R'' </tex> из множества ''<tex>A'' </tex> в множество ''<tex>B'' </tex> называется подмножество прямого произведения ''<tex>A'' </tex> и ''<tex>B'' </tex> и обозначается: <mathtex>R \subset \Alpha A \times \BetaB</mathtex>.

<mathtex>aRb, \ \langle x, y \rangle\in R</math> <tex>\Alpha</tex> <math>\Alpha</math>.

Если отношение определено на множестве ''<tex>A'' </tex>, то возможно следующее определение:

'''Бинарным''' (или '''двуместным''') '''отношением''' ''<tex>R'' </tex> на множестве ''<tex>A'' </tex> называется множество упорядоченных пар элементов этого множества.

'''Степенью''' отношения '''<tex>R''' </tex> на множестве '''<tex>A''' </tex> называется его [[Композиция_отношений|композиция]] с самим собой:

<mathtex>R^n \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ R_1 \circ \dots \circ R_n</mathtex>.

Для <mathtex>R \subset A^2</mathtex> определены свойства:* [[Рефлексивное отношение|Рефлексивность]]: <mathtex>\mathcal {8} x \in A \ (xRx)</mathtex> ;* [[Рефлексивное отношение|Антирефлексивность]]: <mathtex>\mathcal {8} x \in A \ (\neg xRx)</mathtex>;* [[Симметричное отношение|Симметричность]]: <mathtex>\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \Rightarrow yRx)</mathtex>;* [[Антисимметричное отношение|Антисимметричность]]: <mathtex>\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \land yRx \Rightarrow x = y)</mathtex>;* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]]: <mathtex>\mathcal {8} x,y,z \in A \ (xRy \land yRz \Rightarrow xRz)</mathtex>;* Связность: <mathtex>\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \lor yRx)</mathtex>;* [[Антисимметричное отношение|Ассимметричность]]: <mathtex>\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \Rightarrow \neg (yRx))</mathtex>.

* квазипорядка — рефлексивное транзитивное;* эквивалентности — рефлексивное симметричное транзитивное;* частичного порядка — рефлексивное антисимметричное транзитивное;* строгого порядка — антирефлексивное антисимметричное транзитивное;* линейного порядка — полное антисимметричное транзитивное;* доминирования — антирефлексивное антисимметричное.