Цепная дробь

Эта статья находится в разработке!

Определение:

Цепная дробь — это выражение вида [math]\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\cdots \rangle = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\ldots}}}\;[/math] где [math]a_0[/math] есть целое число и все остальные [math]a_n[/math] натуральные числа. Различают конечные и бесконечные цепные дроби. Любая конечная дробь [math]\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n \rangle[/math] представима в виде некоторой рациональной дроби [math]\frac{P_n}{Q_n}[/math], которую называют n-ой подходящей дробью.

Цепная дробь [math]\langle a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n \rangle [/math] представима в виде [math] \frac{[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]} [/math]. Отсюда видим, что [math] \frac{[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]} = a_0 + \frac{[a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]} [/math]. Следовательно [math] [a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = a_0[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n] + [a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n][/math].

Теорема:

[math][a_0, a_1, \cdots, a_n] = [a_n, a_{n-1}, \cdots, a_0] [/math]