Использование обхода в глубину для проверки связности

Алгоритм проверки наличия пути из s в t

Задача

Дан граф [math]G[/math] и две вершины [math]s[/math] и [math]t[/math]. Необходимо проверить, существует ли путь из вершины [math]s[/math] в вершину [math]t[/math] по рёбрам графа [math]G[/math].

Алгоритм

Небольшая модификация алгоритма обхода в глубину. Смысл алгоритма заключается в том, чтобы запустить обход в глубину из вершины [math]s[/math] и проверять при каждом посещении вершины, не является ли она искомой вершиной [math]t[/math]. Так как в первый момент времени все пути в графе "белые", то если вершина [math]t[/math] и была достижима из [math]s[/math], то по лемме о белых путях в какой-то момент времени мы зайдём в вершину [math]t[/math], чтобы её покрасить. Время работы алгоритма [math]O(M + N)[/math].

Реализация

vector<bool> visited;                             //вектор для хранения информации о пройденных и не пройденных вершинах

bool dfs(int u)              
{
    if (u == t)
        return true;    
    visited[u] = true;                            //помечаем вершину как пройденную
    for (v таких, что (u, v) — ребро в G)   //проходим по смежным с u вершинам
        if (!visited[v])                    //проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине
            if (dfs(v))
                return true;
    return false;
}

int main()
{
    ...                                           //задание графа G с количеством вершин n и вершин S и T.
    visited.assign(n, false);                     //в начале все вершины в графе не пройденные
    if (dfs(s))
         std::out << "Путь из S в T существует";
    else 
         std::out << "Пути из S в T нет";
    return 0;
}

Алгоритм проверки связности графа G

Задача

Дан неориентированный граф [math]G[/math]. Необходимо проверить, является ли он связным.

Алгоритм

Заведём счётчик количества вершин которые мы ещё не посетили. В стандартной процедуре dfs() будем уменьшать счётчик на единицу при входе в процедуру. Запустимся от какой-то вершины нашего графа. Если в конце работы процедуры dfs() счётчик равен нулю, то мы побывали во всех вершинах графа, а следовательно он связен. Если счётчик отличен от нуля, то мы не побывали в какой-то вершине графа. Работает алгоритм за [math]O(M + N)[/math].

Реализация

vector<bool> visited;                             //вектор для хранения информации о пройденных и не пройденных вершинах
int k = 0;

void dfs(int u)              
{
    k--;
    visited[u] = true;                            //помечаем вершину как пройденную
    for (v таких, что (u, v) — ребро в G)   //проходим по смежным с u вершинам
        if (!visited[v])                    //проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине
            dfs(v);
}

int main()
{
    ...                                           //задание графа G с количеством вершин n и вершин S и T.
    visited.assign(n, false);                     //в начале все вершины в графе не пройденные
    k = n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        dfs(i);
    if (k == 0)
        std::out << "Граф связен";                //вывести, что граф связен
    else  
        std::out << "Граф несвязен";              //вывести, что граф несвязен
    return 0;
}