2-3 дерево

Пример 2-3 дерева

‎

2-3 дерево — структура данных, представляющая собой сбалансированное дерево поиска, такое что из каждого узла может выходить две или три ветви и глубина всех листьев одинакова. 2-3 дерево можно обобщить до B-дерева.

Структура

• Все данные хранятся в листьях, в вершинах хранится вспомогательная информация,необходимая для организации поиска по поддеревьям.
• Сыновья упорядочены по значению максимума поддерева сына.
• Нелистовые вершины содержат 1 или 2 ключа, указывающие на диапазон значений в их поддеревьях.
• Если нелистовая вершина имеет двух сыновей, то вершина хранит минимум поддерева; если трех, то первый ключ равен минимуму среднего поддерева, а второй ключ равен минимуму правого поддерева.
• 2-3 деревья сбалансированы, то есть каждое левое, правое, и центральное поддерево одинаковой высоты, и таким образом содержат равное (или почти равное) число данных.
• Высота 2-3 дерева [math]O(\log{n})[/math], где [math] n [/math] - количество элементов в дереве, поэтому операции поиска, добавления, удаления, слияния выполняются за время [math]O(\log{n})[/math].

Операции

Поиск

Для поиска в 2-3 дереве необходимо последовательно просматривать ключи, хранящиеся во внутренних ячейках, спускаясь от корня к листьям. Вначале ключ искомого элемента сравнивается с первым ключом ячейки и, если искомый ключ не больше первого, то осуществляется переход в левое поддерево. Иначе, сравниваем искомый ключ со вторым ключом в ячейке (если второго ключа нет — поддерева всего два, то сразу переходим во второе поддерево) и если наш ключ не превосходит второй ключ, то осуществляется переход в среднее поддерево, а если превосходит, то идем в правое поддерево.

Вставка элемента

Есть два варианта вставки в 2-3 дерево.

1)Чтобы поместить новый ключ в узел, в котором содержится ровно один ключ, необходимо просто добавить его как второй ключ к узлу.

2)Если же в узле уже содержатся два ключа, делим его на два "одноключевых" узла и вставляем средний ключ в родительский узел.Это может привести к тому, что придется делить родительский узел. Тогда таким же образом проходим до корня дерева.

Удаление элемента

При удалении ключа из узла возникают три варианта.

1)Если после удаления ключа в узле содержится два ключа, то после удаления ничего не меняется.

2)Если же у ключа после удаления остался один элемент, то проверяем количество потомков второго ребенка того узла, ребенком которого является узел с удаляемым ключом. Если у него два ребенка, то присваиваем ему оставшийся один элемент. Вершину, оставшуюся без детей, удаляем рекурсивно.

3)Иначе у него три ребенка. Тогда присваиваем узлу с одним ключом один из этих ключей, таким образом получая два узла с двумя ключами.

Слияние двух деревьев

Возможно два варианта слияния двух деревьев.

1)Если два дерева одной высоты, то слияние представляет собой добавление общей вершины.

2)Если два дерева разной высоты, то при слиянии меньшее добавляем как поддерево к одной из вершин большего.Если возникает ситуация,когда у необходимого узла уже есть три ребенка, то делим его на два узла с двумя поддеревьями и проверяем родителя.Таким образом проходим по дереву вверх до полной сбалансировки.

Дополнительные ссылки

Визуализатор 2-3 дерева - 1

Визуализатор 2-3 дерева - 2

Использованные источники

2-3 дерево

Дональд Кнут. "Искусство программирования", том 3. Глава "Сортировка и поиск".