Изменения
Нет описания правки
Пусть для дроби <tex>\frac{P}{Q}</tex> выполняется условие теоремы, тогда <tex>\frac{P}{Q}-\alpha=\frac{\epsilon\theta}{Q^2}</tex>, где <tex>~|\epsilon| = 1</tex>, <tex>0<\theta<\frac{1}{2}</tex>. Дробь <tex>\frac{P}{Q}</tex> можно представить в виде конечной цепной дроби <tex>\langle a_0, \cdots, a_n \rangle </tex>. В силу [[#lm1|леммы 1]] мы можем сделать <tex> n</tex> чётным или нечётным. Пусть <tex> n </tex> такое, что <tex>\epsilon = (-1)^{n-1}</tex>.
Возьмём <tex>\omega = \frac{1}{\theta} - \frac{Q_{n-1}}{Q_n} > 1</tex>. Получим <tex> \theta = \frac{Q_n}{\omega Q_n + Q_{n-1}} </tex>. Тогда <tex> \alpha = \frac{P}{Q}-\frac{\epsilon\theta}{Q^2}</tex>. Заметим, что <tex>\epsilon = P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n</tex>, тогда <tex>\alpha = \frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n}{Q_n(\omega Q_n+Q_{n-1})}</tex>. Получаем в итоге <tex>\alpha = \frac{\omega P_n + Q_{n-1}}{\omega Q_n + Q_{n-1}}</tex>. Следовательно, по [[#lm2|лемме 2]] теорема доказана.
}}
[[Категория:Теория чисел]]
