|
|
| Строка 2: |
Строка 2: |
| | | | |
| | {{Теорема | | {{Теорема |
| − | |about = о сечениях | + | |about = О существовании триангуляции полигона |
| | |statement = | | |statement = |
| − | Пусть <tex> E \subset \mathbb R^2, \lambda_2 E < + \infty </tex>
| + | У любого простого <tex>n</tex>-вершинного многоугольника существует триангуляция, причём количество треугольников в ней <tex>n - 2</tex>. |
| − | | |
| − | Тогда:
| |
| − | # <tex> \forall x_1 \in \mathbb R : E(x_1) </tex> — измеримое множество.
| |
| − | # <tex> \lambda_1(E(x_1)) </tex> — измеримая на <tex> \mathbb R </tex> функция.
| |
| − | # <tex> \lambda_2(E) = \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 </tex>
| |
| | | | |
| | |proof= | | |proof= |
| | Схема доказательства — такая же, как и с формулой меры подграфика функции — от простого к сложному. | | Схема доказательства — такая же, как и с формулой меры подграфика функции — от простого к сложному. |
| | | | |
| − | 1) <tex> E = [a, b] \times [c, d] </tex>.
| |
| − |
| |
| − | <tex> E(x_1) = \begin{cases} [c, d] &, x_1 \in [a, b] \\ \varnothing &, x_1 \notin a, b] \end{cases} </tex> — измеримо.
| |
| − |
| |
| − | <tex> \lambda(E(x_1)) = \begin{cases} d - c &, x_1 \in [a, b] \\ 0 &, x_1 \notin [a, b] \end{cases} </tex> — кусочно-постоянная функция на оси, суммируема.
| |
| − |
| |
| − | <tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 = (b - a) (d - c) = \lambda_2 E </tex>
| |
| − |
| |
| − | Вместо замкнутого прямоугольника можно было рассматривать прямоугольник любого вида, в том числе и ячейку.
| |
| − |
| |
| − | 2) <tex> G </tex> — открытое множество, <tex> \lambda G < + \infty </tex>.
| |
| − |
| |
| − | <tex> G = \bigcup\limits_n \Delta_n (x_1) </tex> , по 1) <tex> \Delta_n (x_1) </tex> — измеримо, а не более, чем счётное объединение измеримых, измеримо.
| |
| − |
| |
| − | В силу сигма-аддитивности длины/меры Лебега, <tex> \lambda_1(G(x_1)) = \sum\limits_n \lambda_1 (\Delta_n(x_1)) </tex>.
| |
| − |
| |
| − | Каждое слагаемое измеримо, поточечный предел измеримой функции измерим, значит, <tex> \lambda_1 </tex> измеримо по <tex> x_1 </tex>.
| |
| − |
| |
| − | <tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1(G(x_1)) dx = </tex> (т. Леви (Но причем тут она? Надо пользоваться сигма-аддитивностью интеграла.)) <tex> \sum\limits_n \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (\Delta_n (x_1)) d x_1 = \sum\limits_n \lambda_2 (\Delta_n) = \lambda_2 (G) </tex>.
| |
| − |
| |
| − | 3) <tex> E </tex> — множество типа <tex> G_\delta </tex> (не более, чем счётное пересечение открытых множеств).
| |
| − |
| |
| − | <tex> E = \bigcap\limits_n G_n </tex> — открытое, <tex> G_{n+1} \subset G_n </tex> (<tex> E </tex> — измеримо).
| |
| − |
| |
| − | По сигма-аддитивности, <tex> \lambda_2 E = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda_2 (G_n)</tex>. <tex>E(x_1) = \bigcap\limits_n G_n(x_1) </tex> — измеримо для любого <tex> x_1 </tex>.
| |
| − |
| |
| − | <tex> \lambda_1 (E(x_1)) = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda_1 (G_n(x_1)) </tex> — тоже измеримо(как предел измеримой функции).
| |
| − |
| |
| − | По теореме Лебега о мажорируемой сходимости:
| |
| − |
| |
| − | <tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 = \lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (G_n(x_1)) d x_1 </tex>.
| |
| − |
| |
| − | <tex> \lambda_2 (G_n) \to \lambda_2(E) </tex>
| |
| − |
| |
| − | 4) <tex> E </tex> — нульмерно.
| |
| − |
| |
| − | Представим <tex> E </tex> как пересечение убывающих открытых множеств: <tex> E = \bigcap\limits_n G_n, G_{n + 1} \subset G_n </tex>. Для всех <tex> G_n </tex> теорема уже доказана.
| |
| − |
| |
| − | Тогда <tex> E(x1) = \bigcap\limits_n G_n(x) </tex> является пересечением измеримых множеств, значит, оно измеримо.
| |
| − |
| |
| − | Множество Лебега <tex> E(f \le a) </tex> функции <tex> f = \lambda_1 (E(x_1)) </tex> тоже будет измеримо при любом <tex> a </tex> как пересечение измеримых множеств: <tex> E(f \le a) = \bigcap\limits_n G_n(f \le a) </tex>.
| |
| − |
| |
| − | По теореме Лебега о мажорируемой сходимости (так же, как и в 3), более того, похоже, нульмерное множество - вообще частный случай <tex> G_\delta </tex>), равенство выполняется.
| |
| − |
| |
| − | 5) <tex> E </tex> — произвольное измеримое множество.
| |
| − | По теореме, которой у нас не было(аналогично теореме про <tex> E = F_\sigma \cup A </tex>), подбираем множество <tex> K </tex> типа <tex> G_\delta </tex> так, чтобы <tex> E \subset K </tex> и <tex> \lambda_2(K \setminus E) = 0 </tex>.
| |
| − |
| |
| − | Тогда <tex> E(x_1) = K(x_1) \setminus (K \setminus E)(x_1) </tex>, а почти все сечения множества <tex> K \setminus E </tex>, по пункту 4, имеют меру 0.
| |
| − |
| |
| − | Следовательно, сечения <tex> E(x_1) </tex> измеримы и <tex> \lambda_1 E(x_1) = \lambda_1 K(x_1) </tex> для почти всех <tex> x_1 </tex>.
| |
| − |
| |
| − | Из этого следует, что <tex> \lambda_1 E(x_1) \sim \lambda_1 K(x_1) </tex>, значит, она тоже измерима.
| |
| − |
| |
| − | Наконец, <tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 E (x_1) d x_1 = \int\limits_{\mathbb R} K(x_1) d x_1 = \lambda_2 K = \lambda_2 E </tex>.
| |
| | | | |
| | }} | | }} |
