Участник:Yulya3102/Матан — различия между версиями

Версия 21:31, 26 апреля 2012

Содержание

1 Основные вопросы
2 Определения и факты

Основные вопросы

Список

Замечание о представимости функции рядом Тейлора
Дифференцирование разложений Тейлора
Иррациональность числа e
Следствие о точках разрыва производной выпуклой функции
Теорема о свойствах неопределенного интеграла
Теорема о разложении рациональной дроби на простейшие
Предел римановых сумм
Интегрируемость модуля интегрируемой функции
Интегрируемость произведения
Интегрируемость частного
Ослабленный критерий Лебега. Следствие
Иррациональность числа пи
Неравенство Чебышева для функций и конечных последовательностей
Теорема о формуле трапеций
Формула Эйлера - Маклорена
Формула Стирлинга
Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям
Признак сравнения сходимости несобственного интеграла

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя для неопределенностей вида 0/0

Теорема:

Пусть:

,

функции f и g дифференцируемы на (a, b),

[math]g'(t) \ne 0[/math] для любого [math]t \in (a, b)[/math],

и существует предел .

Тогда предел также существует и равен A.

Доказательство:

1. Пусть [math]a \in \mathbb{R}[/math]. Доопределим функции в точке a нулём: [math]f(a) = g(a) = 0[/math]. Тогда доопределенные функции f и g будут непрерывны на [a, b). Возьмем последовательность , и докажем, что . Функции f и g удовлетворяют условиям теоремы Коши на каждом отрезке [math][a, x_n][/math]. Поэтому для любого [math]n \in \mathbb{N}[/math] найдется такая точка [math]c_n \in (a, x_n)[/math], что

.

По теореме о сжатой последовательности [math]c_n \to a[/math]. По определению правостороннего предела на языке последовательностей , а тогда в силу произвольности [math] \{x_n\}[/math] и .

2. Пусть [math]a = -\infty[/math]. В силу локальности предела можно считать, что b < 0. Положим . Тогда

,

.

По доказанному

.

Правило Лопиталя для неопределенностей вида inf/inf

Теорема:

Пусть:

,

функции f и g дифференцируемы на (a, b),

[math]g'(t) \ne 0[/math] для любого [math]t \in (a, b)[/math],

и существует предел .

Тогда предел также существует и равен A.

Доказательство:

1. Пусть [math]A = 0[/math]. Возьмем последовательность [math]\{x_n\}[/math] со свойствами: [math]x_n \in (a, b), x_n \to a[/math], и докажем, что . Зафиксируем число [math]\sigma \gt 0[/math]. По условию найдется такое [math]y \in (a, b)[/math], что для любого [math]c \in (a, y)[/math] будет [math]g(c) \ne 0[/math] и . Начиная с некоторого номера [math]x_n \in (a, y)[/math], поэтому можно считать, что [math]x_n \in (a, y)[/math] для всех n. По теореме Коши для любого n найдется такое [math]c_n \in (x_n, y)[/math], что

.

Учитывая еще, что [math]g(x_n) \to \infty[/math], находим

.

Поэтому . Но, так как [math]\sigma[/math] произвольно, , а значит, и .

2. Пусть [math]A \in \mathbb{R}[/math] произвольно. Положим [math]h = f - Ag[/math]. Тогда

.

По доказанному , то есть .

3. Случай рассматривается аналогично случаю . При этом вместо используется неравенство и доказывается, что . Случай разбирается аналогично или сводится к случаю переходом к функции .

Замечание о представимости функции рядом Тейлора

Дифференцирование разложений Тейлора

Ну приблизительно: Типа если мы продифференцируем формулу Тейлора для какой-то функции, то получим формулу Тейлора для её производной

Иррациональность числа е

Виноградов, том 1, 213

Критерий монотонности и строгой монотонности

Критерий монотонности функции

Теорема:

Пусть функция f непрерывна на и дифференцируема на . Тогда f возрастает (убывает) на в том и только в том случае, когда .

Доказательство:

1. Необходимость. Пусть f возрастает. Возьмем [math]x \in (a, b)[/math]. Тогда , поэтому

.

2. Достаточность. Пусть . Возьмем , и докажем, что [math]f(x_1) \le f(x_2)[/math]. По теореме Лагранжа [math]\exists c \in (x_1, x_2)[/math]:

.

Случай убывающей функции сводится к рассмотренному переходом к функции .

Следствие: критерий постоянства функции

Теорема:

Пусть . Тогда f постоянна на в том и только том случае, когда и .

Доказательство:

То, что производная постоянной функции равна нулю, известно. Обратно, если и , то по критерию монотонности функции функция одновременно возрастает и убывает, то есть постоянна на .

Критерий строгой монотонности функции

Теорема:

Пусть функция f непрерывна на и дифференцируема на . Тогда f строго возрастает на в том и только в том случае, когда:

1) ;

2) не обращается в нуль тождественно ни на каком интервале.

Доказательство:

По критерию постоянства функции условие 2) означает, что [math]f[/math] не постоянна ни на каком интервале. Поэтому из строгого возрастания [math]f[/math] вытекает утверждение 2), а утверждение 1) верно по критерию монотонности функции.

Пусть теперь выполнены утверждения 1) и 2). Из неотрицательности производной следует возрастание . Если возрастание нестрогое, то . Тогда постоянна на , что противоречит условию 2).

Теорема о необходимом и достаточном условии экстремума

Теорема (Необходимое условие экстремума):

Пусть - точка экстремума дифференцируема в точке . Тогда

Доказательство:

По определению точки экстремума или

Остается применить теорему Ферма к функции

Лемма о трех хордах

Лемма:

Пусть функция выпукла вниз на , . Тогда .

Доказательство:

По определению выпуклости

,

где . Преобразуем неравенство двумя способами. С одной стороны,

,

что равносильно левому неравенству в лемме. С другой стороны,

,

что равносильно правому неравенству в лемме.

Теорема об односторонней дифференцируемости выпуклой функции

Теорема:

Пусть функция выпукла вниз на . Тогда для любой точки конечные .

Доказательство:

Возьмем [math]x \in (a, b)[/math] и положим

.

По лемме о трех хордах g возрастает на . Поэтому, если , то [math]g(\xi) \le g(\eta)[/math], то есть

.

Следовательно, g ограничена на сверху, а на - снизу. По теореме о пределе монотонной функции существуют конечные пределы и , которые по определению являются односторонними производными и . Устремляя к слева, а - справа, получаем, что .

Следствие о точках разрыва производной выпуклой функции

Описание выпуклости с помощью касательных

Теорема:

Пусть функция f дифференцируема на . Тогда f выпукла вниз на в том и только том случае, когда график f лежит не ниже любой своей касательной, то есть .

Доказательство:

1. Необходимость. Пусть f выпукла вниз, .

Если [math]x \gt x_0[/math], то по лемме о трех хордах [math]\forall \eta \in (x_0, x)[/math]

.

Устремляя [math]\eta[/math] к [math]x_0[/math] справа, получаем неравенство

,

равносильное неравенству в теореме.

Если [math]x \lt x_0[/math], то по лемме о трех хордах [math]\forall \xi \in (x,x_0)[/math]

.

Устремляя [math]\xi[/math] к [math]x_0[/math] слева, получаем неравенство

,

равносильное неравенству в теореме.

2. Достаточность. Пусть верно неравенство в теореме. Возьмем . Применяя данное неравенство дважды: сначала к точкам [math]x_1[/math] и [math]x[/math], а затем - к [math]x_2[/math] и [math]x[/math], получаем

,

что равносильно

.

Крайние части и составляют неравенство, равносильное неравенству из определения выпуклости.

Дифференциальный критерий выпуклости

Теорема:

1. Пусть функция непрерывна на и дифференцируема на . Тогда (строго) выпукла вниз на в том и только том случае когда (строго) возрастает на . 2. Пусть функция непрерывна на и дважды дифференцируема на . Тогда выпукла вниз на в том и только том случае, когда .

Доказательство:

1. Необходимость. Возьмем . По теореме об односторонней дифференцируемости выпуклой функции

,

что и означает возрастание [math]f'[/math].

Достаточность. Возьмем , и [math]x\in(x_1,x_2)[/math]. По теореме Лагранжа

Тогда , а [math]f'[/math] по условию возрастает, поэтому [math]f'(c_1)\le f'(c_2)[/math], то есть

,

что равносильно неравенству из определения выпуклости.

Если [math]f[/math] строго выпукла вниз, то оба неравенства в доказательстве необходимости строгие. Обратно, если [math]f'[/math] строго возрастает, то неравенство в доказательстве достаточности строгое, что влечет выпуклость [math]f[/math].

2. По пункту 1 выпуклость равносильна возрастанию , которое по критерию монотонности равносильно неотрицательности .

Неравенство Йенсена

Теорема:

Пусть функция выпукла вниз на . Тогда и

Замечание 1. Числа [math]p_k[/math] называются весами, а отношение - взвешенным средним (арифметическим) чисел [math]x_1,...,x_n[/math]. Если все [math]p_k=1[/math], то взвешенное среднее есть обычное среднее арифметическое . Неравенство Йенсена можно сформулировать так: значение выпуклой вниз функции от взвешенного среднего не превосходит взвешенного среднего значений функции.

Замечание 2. Не уменьшая общности, можно считать, что . При этом условии неравенство Йенсена принимает вид

.

Действительно, для произвольных положительных положим . Тогда неравенство Йенсена для весов и выглядит одинаково, а .

Доказательство:

Пусть . Положим .

Сразу отметим, что если [math]x_1=...=x_n[/math], то [math]x^*[/math] с ними совпадает, а неравенство Йенсена обращается в равенство.

Пусть среди чисел [math]x_1,...,x_n[/math] есть различные.

Проверим, что [math]x^*\in(a,b)[/math]. Действительно, хоть одно из чисел [math]x_k[/math] меньше [math]b[/math], поэтому

.

Аналогично доказывается, что [math]x^*\gt a[/math].

В точке [math]x^*[/math] у функции [math]f[/math] существует опорная прямая; пусть она задается уравнением [math]\ell(x)=\alpha x+\beta[/math]. По определению опорной прямой [math]\ell(x^*)=f(x^*)[/math] и . Поэтому

Неравенство Гельдера

Теорема:

Пусть или . Тогда .

Доказательство:

Так как ,

достаточно доказать неравенство Гельдера для чисел . Поэтому, не уменьшая общности, можно считать, что [math]a_k,b_k\in\mathbb{R}_+[/math]. Более того, можно считать, что все [math]b_k\gt 0[/math]. Действительно, если неравенство Гельдера доказано для положительных чисел [math]b_k[/math], то

Итак, пусть . Функция [math]f(x)=x^p[/math] строго выпукла вниз на [math][0,+\infty)[/math]. Положим и применим неравенство Йенсена:

.

Учитывая, что получаем:

Остается возвести обе части неравенства в степень и воспользоваться тем, что

Неравенство Минковского

Теорема:

Пусть или . Тогда .

Доказательство:

При [math]p=1[/math] неравенство Минковского сводится к неравенству треугольника для модуля. Пусть [math]p\gt 1,\ q={p\over p-1}[/math]. Обозначим . Применим неравенство треугольника, а затем неравенство Гёльдера:

Если , то неравенство Минковского очевидно, а если , то, сокращая на , получаем требуемое.

Неравенство Коши

Теорема (Монотонность средних степенных):

Пусть при при . Тогда , причем равенство имеет место лишь при . В частности,

.

Это неравенство называется неравенством Коши между средним геометрическим и средним арифметическим.

Доказательство:

1. Пусть [math]0\lt r\lt s[/math]. Поскольку [math]{s\over r}\gt 1[/math], функция [math]f(x)=x^{s/r}[/math] строго выпукла вниз на [math][0,+\infty)[/math]. Применим к ней неравенство Йенсена, взяв [math]p_k=1,\ x_k=a^r_k[/math]. Получим

,

причем в силу строгой выпуклости равенство достигается лишь при [math]a_1=...=a_n[/math]. Остается возвести обе части в степень [math]1\over s[/math].

2. Пусть [math]r=0,s=1[/math], то есть докажем неравенство Коши. Если среди [math]a_k[/math] есть нуль, то неравенство очевидно выполняется и обращается в равенство лишь если все [math]a_k[/math] суть нули. Пусть [math]a_1,...,a_n\gt 0[/math]. Применим неравенство Йенсена к строго выпуклой вверх функции [math]\ln[/math], взяв [math]p_k=1,\ x_k=a_k[/math]. Получим

,

что равносильно неравенству Коши, причем в силу строгой выпуклости равенство достигается лишь при [math]a_1=...a_n[/math].

3. Если [math]r=0\lt s[/math], то по доказанному неравенству Коши

4. Если [math]r\lt s\le0[/math], то [math]0\le-s\lt -r[/math], и по доказанному

5. Если , то

Теорема о свойствах неопределенного интеграла

Виноградов, том 1, 254

Теорема о разложении рациональной дроби на простейшие

Лемма о свойствах сумм Дарбу

Теорема:

1. (грани берутся по всевозможным оснащениям дробления ).

2. При добавлении новых точек дробления верхняя сумма не увеличится, а нижняя - не уменьшится.

3. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней (даже отвечающей другому дроблению).

Доказательство:

1. Для определенности докажем утверждение о верхних суммах. Очевидно, что . Умножая эти неравенства на [math]\Delta x_k[/math] и суммируя по [math]k[/math], получаем неравенство [math]\sigma\le S[/math], то есть [math]S[/math] - верхняя граница для интегральных сумм Римана. Докажем, что эта верхняя граница точная.

Пусть [math]f[/math] ограничена сверху на [math][a,b][/math]. Возьмем [math]\epsilon\gt 0[/math] и для каждого [math]k[/math] по определению верхней грани подберем . Тогда

.

Так как [math]\epsilon[/math] произвольно, [math]S[/math] - точная верхняя граница.

Пусть [math]f[/math] не ограничена сверху на [math][a,b][/math]. Тогда [math]\exists \nu:\ f[/math] - не ограничена сверху на [math][x_\nu,x_{\nu+1}][/math]. Возьмем [math]A\gt 0[/math] и выберем точки [math]\xi^*_k[/math] при [math]k\ne\nu[/math] произвольно, а [math]\xi^*_\nu[/math] - так, чтобы

.

Тогда

.

Так как [math]A[/math] произвольно, .

2. Для определенности докажем утверждение о верхних суммах. В силу принципа математической индукции достаточно проверить, что верхняя сумма не увеличится при добавлении одной новой точки дробления. Пусть дробление [math]T[/math] получено из дробления [math]\tau=\{x_k\}^n_{k=0}[/math] добавлением точки [math]c\in(x_\nu,x_{\nu+1})[/math]. Тогда

,

где . Поскольку при сужении множества его супремум не увеличивается, [math]M'\le M_\nu[/math] и [math]M''\le M_\nu[/math]. Поэтому

3. Неравенство [math]s_\tau\le S_\tau[/math] между суммами для одного и того же дробления [math]\tau[/math] тривиально. Пусть [math]\tau_1[/math] и [math]\tau_2[/math] - два дробления отрезка [math][a,b][/math]. Докажем, что [math]s_{\tau_1} \le S_{\tau_2}[/math]. Положим [math]\tau=\tau_1\cup\tau_2[/math]. Тогда по свойству 2

Критерий интегрируемости Римана

Теорема (Критерий интегрируемости функции):

Пусть . Тогда в том и только том случае, когда , то есть

Доказательство:

1. Необходимость. Пусть [math]f\in R[a,b][/math]. Обозначим [math]I=\int^b_af[/math]. Возьмем [math]\epsilon\gt 0[/math] и подберем такое [math]\delta\gt 0[/math] из определения предела интегральных сумм, что для любого оснащенного дробления [math](\tau,\xi)[/math], ранг которого меньше [math]\delta[/math],

Переходя к супремуму и инфимуму по [math]\xi[/math], в силу свойства 1 получаем:

,

откуда

2. Достаточность. Пусть . Тогда все суммы [math]S_\tau[/math] и [math]s_\tau[/math] конечны.

,

поэтому

Так как правая часть последнего неравенства принимает сколь угодно малые значения, [math]I_*=I^*[/math]. Обозначим общее значение [math]I_*[/math] и [math]I^*[/math] через [math]I[/math] и докажем, что . Из неравенств

следует, что

По можно подобрать такое , что для любого дробления , ранг которого меньше , будет , а тогда для любого оснащения такого дробления

Теорема (Критерий интегрируемости Римана):

Пусть Тогда в том и только том случае, когда

Интегрируемость на меньшем параллелепипеде

Теорема (Интегрируемость функции и ее сужения):

1. Если , то 2. Если интегрируема на и на , то

Доказательство:

1. Проверим выполнение условия интегрируемости [math]f[/math] на отрезке [math][\alpha,\beta][/math]. Возьмем [math]\varepsilon\gt 0[/math] и подберем [math]\delta\gt 0[/math] из критерия интегрируемости [math]f[/math] на [math][a,b][/math]: если ранг дробления [math]\tau[/math] отрезка [math][a,b][/math] меньше [math]\delta[/math], то . Покажем, что это [math]\delta[/math] подходит и для критерия интегрируемости [math]f[/math] на [math][\alpha,\beta][/math]. Пусть [math]\tau_0[/math] - дробление . Возьмем какие-нибудь дробления отрезков [math][a,\alpha][/math] и [math][\beta,b][/math] (если эти отрезки невырожденные) ранга, меньшего [math]\delta[/math], и объединим их с [math]\tau_0[/math]. Получим дробление [math]\tau=\{x_k\}^n_{k=0}[/math] отрезка [math][a,b][/math]:

причем [math]\lambda_\tau\lt \delta[/math]. Тогда

2. Проверим выполнение условия интегрируемости [math]f[/math] на отрезке [math][a,b][/math]. Не умаляя общности, можно считать, что [math]f[/math] не постоянна, то есть что . Возьмем [math]\varepsilon\gt 0[/math]. По критерию интегрируемости подберем такие [math]\delta_1\gt 0[/math] и [math]\delta_2\gt 0[/math], что для любых дроблений [math]\tau_1[/math] отрезка [math][a,c][/math] и [math]\tau_2[/math] отрезка [math][c,b][/math], удовлетворяющих условиям , выполняются неравенства

Положим . Пусть [math]\tau[/math] - дробление . Точка [math]c[/math] не обязана принадлежать [math]\tau[/math]; пусть [math]c\in[x_\nu,x_{\nu+1}).[/math] Обозначим

Тогда по выбору [math]\delta[/math]

Аддитивность интеграла

Теорема (Аддитивность интеграла по отрезку):

Если , то .

Доказательство:

Пусть [math]a\lt c\lt b,\ f\in R[a,b][/math]. Тогда по теореме об интегрируемости функции и ее сужения [math]f\in R[a,c][/math] и [math]f\in R[c,b][/math]. Пусть - последовательности оснащенных дроблений отрезков [math][a,c][/math] и [math][c,b][/math] на [math]n[/math] равных частей, и [math]\sigma_n[/math] - соответствующие последовательности интегральных сумм. Тогда

Остается перейти к пределу при [math]n\to+\infty.[/math]

Если [math]a\lt b\lt c[/math], то по доказанному

Если [math]a=b[/math], то

Остальные случаи разбираются аналогично.

Предел римановых сумм

Линейность интеграла

Теорема:

Если , то

Доказательство:

Интегрируемость [math]\alpha f+\beta g[/math] следует из теоремы об арифметических действиях над интегрируемыми функциями. Остается перейти к пределу в равенстве

Монотонность интеграла

//и другие свойства, нужные при доказательстве теорем

Теорема (Монотонность интеграла (свойство 4)):

Если , то .

Доказательство:

Для доказательства нужно перейти к пределу в неравенстве .

Теорема (Следствие 1):

Пусть Если , то

[math]\int_a^bf\le M(b-a),[/math]

а если [math]m\in\mathbb{R},\ f\ge m[/math], то

[math]\int_a^bf\ge m(b-a)[/math].

В частности, если [math]f\in R[a,b],\ f\ge0[/math], то

.

Теорема (Свойство 5):

Пусть непрерывна в . Тогда

Доказательство:

Возьмем и по определению непрерывности [math]f[/math] в точке [math]x_0[/math] подберем .

Обозначим . По следствию 1 из свойства монотонности

Замечание 1. Без условия непрерывности [math]f[/math] в точке [math]x_0[/math] утверждение неверно. Контрпримером служит функция, равная 0 всюду, кроме одной точки, в которой она положительна.

Замечание 2. Аналогичное утверждение справедливо и для двух функций:

Пусть непрерывны в точке [math]x_0[/math]. Тогда [math]\int_a^bf\lt \int_a^bg[/math].

Для доказательства достаточно применить свойство к функции [math]g-f.[/math]

Замечание 3. Пусть Тогда [math]\int_a^bf\gt 0.[/math] Аналогичное утверждение верно и для двух функций.

Действительно, из критерия Лебега легко вытекает, что на есть точки непрерывности .

Теорема (Свойство 6):

Пусть . Тогда .

Доказательство:

Интегрируя неравенство , получаем:

,

что равносильно доказываемому.

Замечание 4. Если отказаться от требования , свойство надо изменить так: если [math]f\in R[a,b][/math], то

Интегрируемость модуля интегрируемой функции

Интегрируемость произведения

Интегрируемость частного

Ослабленный критерий Лебега. Следствие

Теорема о среднем. Следствия

Теорема (Теорема о среднем):

Пусть (или ), . Тогда .

Доказательство:

Для определенности будем полагать, что [math]a\lt b,g\ge0[/math]. Тогда [math]\int_a^bg\ge0[/math] и [math]mg\le fg\le Mg[/math].

Проинтегрируем это неравенство и вынесем постоянные множители за знаки интегралов:

.

Отсюда если [math]\int_a^bg=0[/math], то и [math]\int_a^bfg=0[/math], а тогда подходит любое [math]\mu[/math]. Если же [math]\int_a^bg\gt 0[/math], то следует положить:

.

Условия на , очевидно, выполнены.

Теорема (Следствие 1):

Пусть (или ). Тогда .

Доказательство:

По теореме Вейерштрасса о непрерывных функциях существуют и .

Подберем из теоремы о среднем. По теореме Больцано-Коши о промежуточном значении найдется .

Теорема (Следствие 2):

Пусть . Тогда .

Доказательство:

Для доказательства надо положить в теореме о среднем.

Теорема (Следствие 3):

Пусть . Тогда .

Доказательство:

Для доказательства надо положить в следствии 1.

Теорема Барроу

Теорема (Об интеграле с переменным верхним пределом):

Пусть - невырожденный промежуток, интегрируема на каждом отрезке, содержащемся в . Тогда справедливы следующие утверждения.

1. [math]\Phi\in C(E).[/math]

2. Если, кроме того, [math]f[/math] непрерывна в точке [math]x_0\in E[/math], то [math]\Phi[/math] дифференцируема в точке [math]x_0[/math] и [math]\Phi'(x_0)=f(x_0)[/math].

Утверждение 2 часто называют теоремой Барроу.

Доказательство:

1. Возьмем [math]x_0\in E[/math] и докажем непрерывность [math]\Phi[/math] в точке [math]x_0[/math]. Выберем такое [math]\delta\gt 0[/math], что есть невырожденный отрезок [math][A,B][/math]. Функция [math]f[/math] ограничена на [math][A,B][/math] некоторым числом [math]M[/math]. Пусть [math]\Delta x[/math] таково, что [math]x_0+\Delta x\in[A,B][/math]. Тогда по аддитивности интеграла

, по по свойству 4 и по свойству 6

.

Это и доказывает непрерывность [math]\Phi[/math] в точке [math]x_0[/math].

2. Проверим, что .

Возьмем [math]\varepsilon\gt 0[/math] и по определению непрерывности подберем . Тогда , по свойству 6 и по свойству 5 и замечаниям к ним

, откуда и следует проверяемое утверждение.

Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций

Теорема (Формула Ньютона-Лейбница):

Пусть - первообразная на . Тогда .

Доказательство:

[math]\forall n\in\mathbb{N}[/math] положим [math]x_k={k(b-a)\over n}[/math]. Тогда

По теореме Лагранжа .

В силу интегрируемости [math]f[/math]

Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле

Интегрирование по частям

Теорема:

Пусть дифференцируемы на . Тогда

Доказательство:

Будучи дифференцируемыми, функции [math]f,\ g[/math] непрерывны и, следовательно, интегрируемы. По теореме об арифметическими действиями над интегрируемыми функциями [math]f'g,fg'\in R[a,b][/math], а тогда и [math](fg)'=f'g+fg'\in R[a,b][/math]. По формуле Ньютона-Лейбница

Остается перенести второе слагаемое из левой части в правую.

Замена переменной

Теорема:

Пусть дифференцируема на . Тогда

Доказательство:

Поскольку , по теореме об арифметических действиях над интегрируемыми функциями . Также и . Пусть [math]F[/math] - первообразная [math]f[/math] на [math][A,B][/math]. Тогда по правилу дифференцирования композиции [math]F\circ\varphi[/math] - первообразная [math](f\circ\varphi)\varphi'[/math] на [math][A,B][/math]. Применяя к обоим интегралам формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

Интегральность числа пи

Формула Валлиса

Лемма:

Если , то

Доказательство:

Обозначим . Легко проверить, что [math]J_0={\pi\over2},\ J_1=1[/math]. При [math]m-1\in\mathbb{N}[/math] проинтегрируем по частям:

(в последнем равенстве мы учли, что двойная подстановка обнулилась, и применили формулу [math]\cos^2x=1-\sin^2x[/math]). Выражая [math]J_m[/math], получаем реккурентное соотношение

[math]J_m={m-1\over m}J_{m-2}.[/math]

Остается применить его несколько раз и выразить через или в зависимости от четности .

Теорема (Формула Валлиса):

Доказательство:

выполняется неравенство [math]0\lt \sin x\lt 1[/math], поэтому [math]\forall n\in\mathbb{N}[/math]

а тогда и

Подставляя найденные в лемме значения [math]J_m[/math], получаем двойное неравенство

что равносильно

Обозначим . Двойное неравенство можно преобразовать к виду

откуда .

Формула Тейлора с интегральным остатком

Теорема (Формула Тейлора с остатком в интегральной форме):

Пусть . Тогда .

Доказательство:

По индукции. База индукции (случай [math]n=0[/math]) представляет собой формулу Ньютона-Лейбница:

.

Пусть утверждение верно для некоторого [math]n-1\in\mathbb{Z}_+[/math]. Докажем его для номера [math]n[/math]. Для этого проинтегрируем его по частям в остаточном члене:

.

Первое слагаемое в правой части есть слагаемое с номером [math]n[/math] в многочлене Тейлора, а второе - новый остаточный член:

Неравенство Чебышева для функций и конечных последовательностей

Неравенство Гельдера и Минковского

Неравенство Гельдера для интегралов

Теорема (Неравенство Гёльдера для интегралов):

Пусть - сопряженные показатели. Тогда

Доказательство:

Положим . Тогда в силу равенства [math]{1\over p}+{1\over q}=1[/math]. Воспользуемся неравенством Гёльдера для сумм:

которое принимает вид

В последнем неравенстве участвуют суммы Римана для непрерывных функций . При суммы стремятся к интегралам от этих функций. Остается сделать предельный переход в неравенстве и воспользоваться непрерывностью модуля и степенных функций.

Неравенство Минковского для интегралов

Теорема (Неравенство Минковского для интегралов):

Пусть . Тогда

Доказательство:

Для доказательства неравенства Минковского можно сделать предельный переход в неравенстве для сумм.

Неравенство Йенсена для интегралов. Неравенство Коши

Неравенство Йенсена для интегралов

Теорема:

Пусть выпукла и непрерывна на . Тогда .

Доказательство:

Обозначим

([math]m[/math] и [math]M[/math] конечны по теореме Вейерштрасса). Если [math]m=M[/math], то есть [math]\varphi[/math] постоянна на [math]E[/math], то [math]c=m[/math] и обе части неравенства Йенсена равны [math]f(m)[/math].

Пусть [math]m\lt M[/math]. Тогда [math]c\in(m,M)[/math] и, следовательно, [math]c\in(A,B)[/math]. Функция [math]f[/math] имеет в точке [math]c[/math] опорную прямую; пусть она задается уравнением [math]y=\alpha x+\beta[/math]. По определению опорной прямой [math]f(c)=\alpha c+\beta[/math] и . Поэтому

Неравенство Коши-Буняковского для интегралов

Теорема:

Пусть . Тогда

Доказательство:

Для доказательства надо положить в неравенстве Гёльдера .

Теорема о формуле трапеций

Формула Эйлера - Маклорена

Формула Стирлинга

Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям

Признак сравнения сходимости несобственного интеграла

Определения и факты

Список

Ряды Тейлора основных элементарных функций
Локальный экстремум
Интеграл функции по параллелепипеду
Почти первообразная

Ряды Тейлора основных элементарных функций

Локальный экстремум

[math]x_0[/math] называется точкой локального максимума функции [math]f,[/math] если существует проколотая окрестность [math]\dot{U}(x_0)[/math] такая, что
[math]x_0[/math] называется точкой локального минимума функции [math]f,[/math] если существует проколотая окрестность [math]\dot{U}(x_0)[/math] такая, что

Если неравенства выше строгие, то [math]x_0[/math] называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

Точка возрастания функции

Определение:

Пусть . Если и , то называется точкой возрастания функции .

Стационарная точка

Определение:

Пусть . Если , то называется стационарной точкой функции . Если или не дифференцируема в точке , то называется критической точкой функции .

Выпуклая функция

Определение:

Функция называется:

выпуклой вниз на [math]\langle a,b\rangle[/math], если выполняется неравенство

;

строго выпуклой вниз на [math]\langle a,b\rangle[/math], если выполняется неравенство

.

Если выполняются противоположные неравенства, то функция [math]f[/math] называется соответственно выпуклой вверх или строго выпуклой вверх на [math]\langle a,b\rangle[/math].

Часто функции, которые только что были названы выпуклыми вниз, называют просто выпуклыми, а те, что были названы выпуклыми вверх, - вогнутыми.

Выпуклое множество в R^m

Определение:

Множество (на прямой, на плоскости, в трехмерном пространстве) называется выпуклым, если вместе в с любыми своими двумя точками оно содержит весь отрезок, их соединяющий.

Надграфик и подграфик

Надграфик

Определение:

Пусть . Множество называется надграфиком функции .

Подграфик

Определение:

Пусть . Множество

называется подграфиком функции .

Опорная прямая

Определение:

Пусть . Прямая, задаваемая уравнением , называется опорной для функции в точке , если

.

Если же

,

то прямая называется строго опорной для функции в точке .

Первообразная

Определение:

Пусть . Функция называется первообразной функции на , если .

Таблица первообразных

1. [math]\int0dx=C[/math]

2.

3.

4.

5. [math]\int \sin x dx=-\cos x+C[/math]

6. [math]\int \cos x dx=\sin x+C[/math]

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Дробление отрезка

Определение:

Пусть - невырожденный отрезок. Набор точек

называется дроблением отрезка [math][a,b][/math]. Отрезки называют отрезками дробления, через [math]\Delta x_k[/math] обозначается длина [math]k[/math]-го отрезка дробления. Величина

называется рангом или мелкостью дробления . Набор точек , таких что , называется оснащением дробления. Дробление вместе с его оснащением, то есть пара , называется оснащенным дроблением.

Дробление параллелепипеда

Определение:

Пусть параллелепипед задан двумя точками . Дроблением параллелепипеда называется множество дроблений , где - дробление отрезка .

Что значит, что одно дробление мельче другого

//для отрезка

Определение:

Дробление мельче дробления , если набор точек дробления содержится в наборе этих точек для .

//для параллелепипеда

Определение:

Дробление мельче, если для всех дроблений из верно, что дробление из одного мельче дробления из другого.

//Копипаста http://vk.com/topic-29253653_26076730?post=1937

Сумма Дарбу

Определение:

Пусть - дробление ,

.

Суммы

и

называются верхней и нижней интегральными суммами или суммами Дарбу функции , отвечающими дроблению .

Верхний интеграл Дарбу

Определение:

Пусть . Величины

, и

называются верхним и нижним интегралами Дарбу функции .

Интегрируемая по Риману функция

Определение:

Пусть . Если существует предел интегральных сумм , равный числу , то функция называется интегрируемой по Риману на , а число - интегралом (определенным интегралом, интегралом Римана) от функции по отрезку и обозначается .

Интеграл функции по параллелепипеду

Риманова сумма

Определение:

Пусть . Суммы

называются интегральными суммами или суммами Римана функции , отвечающими оснащенному дроблению .

Колебание функции на множестве

Определение:

Пусть . Величина

называется колебанием функции на множестве .

Множество объема 0

Определение:

Множество имеет объём 0, если покрытие множества брусами .

Множество меры 0

Определение:

Говорят, что множество имеет нулевую меру, если множество можно заключить в не более чем счетное объединение интервалов, суммарная длина которых меньше .

Интеграл с переменным верхним пределом

Определение:

Пусть - невырожденный промежуток интегрируема на каждом отрезке, содержащемся в . Функция

[math]\Phi(x)=\int_a^xf,\ x\in E[/math]

называется интегралом с переменным верхним пределом.

Кусочно-непрерывная функция

Определение:

Функция называется кусочно-непрерывной на , если множество ее точек разрыва пусто или конечно, и все имеющиеся разрывы - первого рода.

Почти первообразная

Несобственный интеграл

Определение:

Пусть . Символ называется несобственным интегралом. Интегралы при называются частными или частичными. Если в , равный , то символу приписывают значение . В противном случае символу не приписывают никакого значения. Если , то говорят, что несобственный интеграл сходится; в противном случае говорят, что он расходится.

@@ Строка 697: / Строка 697: @@
 |statement=Если <tex>m\in\mathbb{Z}_+</tex>, то
-<tex>\int_0^{\pi/2}\sin^mxdx={(m-1)!!\over m!!}\cdot\begin{cases} {\pi\over2}, & \text{если }m\text{ четное,} \\ 1, & \text{если }m\text{ нечетное.} \end{cases}</tex>
+<tex>\int_0^{\pi/2}\sin^mxdx={(m-1)!!\over m!!}\cdot\begin{cases} {\pi\over2}, & \text{if }m\text{ is even,} \\ 1, & \text{if }m\text{ is odd.} \end{cases}</tex>
 |proof=
 Обозначим <tex>J_m=\int_0^{\pi/2}\sin^mtdt</tex>. Легко проверить, что <tex>J_0={\pi\over2},\ J_1=1</tex>. При <tex>m-1\in\mathbb{N}</tex> проинтегрируем по частям: