Теорема о подгруппах циклической группы

Теорема: любая подгруппа [math]H[/math] циклической группы [math]G[/math] сама является циклической группой.

Доказательство

Все элементы группы [math]G[/math] с образующей [math]a[/math] представимы в виде [math]a^n[/math]. Предположим, что [math]H[/math] нетривиальна. Возьмем наименьшее ненулевое [math]n[/math], что [math]a^n\in H[/math] и положим [math]a^n=b[/math]. Пусть теперь есть некоторое [math]c\in H[/math]. Раз [math]c\in H\subseteq G[/math], то [math]c=a^m[/math] для некоторого [math]m[/math]. Имеем [math]m=k\cdot n+r[/math], где [math]r\lt n[/math]. Вместе с [math]b[/math] и [math]c[/math] H содержит и [math]b^{-k}\cdot c=a^r[/math]. Поэтому если [math]r\neq 0[/math], то [math]n[/math] - не минимальное ненулевое число, что [math]a^n\in H[/math]. Таким образом, необходимо [math]r=0[/math]. Значит, все элементы [math]H[/math] представимы в виде [math]b^m[/math] для некоторого m, что и означает, что [math]H[/math] - циклическая группа.