Лемма Римана-Лебега

Эта статья находится в разработке!

Лемма (Риман-Лебег):

Пусть [math]f \in L_1[/math], тогда [math]a_n \to 0[/math], [math]b_n \to 0[/math], при [math]n \to \infty[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]|a_n(f)| = \frac{1}{\pi}|\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx|[/math]. Обозначим [math]T_{n-1}(f)_1[/math] — полином наилучшего приближения функции [math]f[/math], степени, не большей [math]n-1[/math] в [math]L_1[/math]. Так как это сумма вида [math]\frac{c_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{m-1}(c_k\cos{kx}+d_k\sin{kx})[/math], то по свойству тригонометрических функций выполняется: [math]\int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)\cos{nx}dx = 0[/math] [math]\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx + \int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)_1\cos{nx}dx = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx[/math]. Тогда [math]|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1| = \frac{1}{\pi}||f-T_{n-1}(f)_1|| = \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1[/math], то есть [math]|a_n(f)|\le \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1[/math]. По обобщенной теореме Вейерштрасса [math]E_{n-1}(f)_1 \to 0[/math], следовательно [math]a_n(f) \to 0[/math]. Для [math]b_n[/math] доказывается аналогично.

[math]\triangleleft[/math]

Следует иметь ввиду, что [math]\int\limits_{Q}|f(x)||\cos{nx}|[/math] не стремится к 0, поэтому грубая оценка, что [math]|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q}|f(x)||\cos{nx}|dx[/math] ни к чему не ведет. То, что лемма Римана-Лебега была написана для [math]2\pi[/math]-периодичных функций не имеет принципиального значения, так как на самом деле справедлив общий факт.

Лемма (Риман-Лебег):

Пусть [math]\int\limits_{\mathbb{R}}f \lt +\infty[/math], то есть [math]f[/math] — суммируема на всей оси, тогда [math]\int\limits_{\mathbb{R}}f(x)\cos(px) \to 0[/math] при [math]p \to \infty[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Обе леммы равносильны. Первая получается из второй, если подставить [math]f =0[/math] вне отрезка [math]Q[/math]. В обратную сторону: TODO: {{{t}}}

[math]\triangleleft[/math]

В частности из леммы Римана-Лебега получается важный результат, называемый принципом локализации Римана рядов Фурье.

Теорема (Риман):

Пусть [math]f,g \in L_1[/math], [math]0 \lt \delta \lt \pi[/math], [math]x \in \mathbb{R}[/math]. Пусть в [math]\delta[/math]-окрестности точки [math]x[/math] выполняется [math]f = g[/math], тогда [math]\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

TODO: {{{t}}}

[math]\triangleleft[/math]