Теорема Бейкера — Гилла — Соловэя — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
(→‎Теорема)
Строка 33: Строка 33:
 
Пусть <tex>B</tex> — произвольное множество, а <tex>U_B = \{1^n \bigm| \exists x \in B : |x| = n\}</tex>. Ясно, что <tex>\forall B</tex> выполнено <tex>U_B \in \mathrm{NP}^B</tex> (сертификатом будет слово нужной длины из <tex>B</tex>). Построим такое множество <tex>B</tex>, что <tex>U_B \not\in \mathrm{P}^B</tex>.  
 
Пусть <tex>B</tex> — произвольное множество, а <tex>U_B = \{1^n \bigm| \exists x \in B : |x| = n\}</tex>. Ясно, что <tex>\forall B</tex> выполнено <tex>U_B \in \mathrm{NP}^B</tex> (сертификатом будет слово нужной длины из <tex>B</tex>). Построим такое множество <tex>B</tex>, что <tex>U_B \not\in \mathrm{P}^B</tex>.  
  
−
Пронумеруем некоторым образом все машины Тьюринга, работающие за полиномиальное время и имеющие доступ к оракулу языка <tex>B</tex>, и рассмотрим последовательность <tex>M_i</tex>, в которой каждая машина Тьюринга встречается бесконечное число раз. Очевидно, это можно сделать в силу счетности множества машин Тьюринга. Построение множества <tex>B</tex> разделим на счетное число стадий. Будем строить <tex>B</tex> так, чтобы на <tex>i</tex>-й стадии было выполнено: существует слово <tex>x</tex>, что <tex>T(M_i, x) \ge 2^{n-1}</tex>.  Это утверждение сильнее, чем <tex>U_B \not\in \mathrm{P}^B</tex>, так как <tex>2^n</tex> растет быстрее любого полинома.
+
Пронумеруем все полиномиальные программы, получим последовательность <tex>M_i</tex>. Множество <tex>B</tex> будем строить итеративно, на очередной итерации номер <tex>i</tex> делая так, что программа <tex>M_i</tex> не распознает множество <tex>U_B</tex>.
−
* 0-я стадия: <tex>B \leftarrow \varnothing </tex>.
 
−
* <tex>i</tex>-я стадия. Стадии с 0-й по <tex>(i-1)</tex>-ю пройдены, <tex>B</tex> — конечное множество слов. Пусть самое длинное из них состоит из <tex>(n-1)</tex>-го символа. Запустим машину <tex>M_i</tex> на входе <tex>1^n</tex> на <tex>2^{n-1}</tex> шагов. Когда <tex>M_i</tex> требуется ответ оракула языка <tex>B</tex> о слове <tex>x</tex>, будем определять принадлежность этого слова к <tex>B</tex> следующим образом:
 
−
** если принадлежность <tex>x</tex> множеству <tex>B</tex> была определена на одной из предыдущих стадий, то она сохраняется;
 
−
** если принадлежность <tex>x</tex> множеству <tex>B</tex> не установлена ранее, то далее считаем, что <tex>x \not\in B</tex>.
 
  
−
Но <tex>M_i</tex> могла остановиться раньше, чем за <tex>2^{n-1}</tex> шагов, и вернуть какое-либо значение. Так как <tex>B</tex> строится с условием, что для выбранного <tex>x = 1^n</tex> выполнено: <tex>T(M_i,x) \ge 2^{n-1}</tex>, то решение машины о принадлежности слова должно быть неверным:
+
В начале каждой итерации определимся с тем, с какой длиной слова <tex>n</tex> мы будем работать. Для <tex>n</tex> должны быть выполнены два условия:
−
* если <tex>M_i</tex> приняла слово, то исключим из <tex>B</tex> все слова вида <tex>\{0,1\}^n</tex>;
+
* <tex>2^n > T(M_i, (1)^1</tex> (это ограничение может быть достигнуто, так как мы исследуем только полиномиальные программы)
−
* Если <tex>M_i</tex> отклонила слово, то выберем слово <tex>x</tex> длины <tex>n</tex>, принадлежность которого <tex>B</tex> еще не определена. Добавим <tex>x</tex> в <tex>B</tex>. Такое слово всегда найдется, так как на предыдущих шагах мы могли сделать не более, чем <tex>2^n-1</tex> запросов к оракулу (то есть определить принадлежность <tex>B</tex> не более <tex>2^n-1</tex> слов длины <tex>n</tex>), а всего слов длины <tex>n</tex> <tex>2^n</tex>.
+
* <tex>n > \max_{s \in B} |s|}</tex> (это ограничение может быть достигнуто, так как в множестве <tex>B</tex> всегда конечное количество элементов)
  
−
Во множестве <tex>B</tex> на каждой стадии содержится конечное число элементов, так как на каждой стадии в <tex>B</tex> может быть добавлено не более чем <tex>2^{n-1}+1</tex> слов.
 
  
−
Из построения получаем, что для любой машины Тьюринга <tex>M</tex> существует бесконечно много слов из <tex>U_B</tex>, для которых <tex>M</tex> не может принять верное решение о принадлежности слова <tex>U_B</tex> за время, меньшее <tex>2^{n-1}</tex>. Следовательно, <tex>U_B \not\in \mathrm{P}^B</tex>.
 
  
 
}}
 
}}

Версия 19:35, 5 июня 2013

Теорема

Теорема:
Существуют такие оракулы [math]A[/math] и [math]B[/math], что [math]\mathrm{P^A} = \mathrm{NP^A} [/math] и [math]\mathrm{P^B} \ne \mathrm{NP^B} [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Существование оракула [math]A[/math]

Рассмотрим PS-полный язык [math]\mathrm{TQBF}[/math].

[math] \mathrm{P^{TQBF}} \overset{(1)}{\subseteq} \mathrm{NP^{TQBF}} \overset{(2)}{\subseteq} \mathrm{NPS^{TQBF}} \overset{(3)}{=} \mathrm{PS^{TQBF}} \overset{(4)}{=} \mathrm{PS} \overset{(5)}{\subseteq} \mathrm{P^{TQBF}} \Rightarrow [/math]
[math]\Rightarrow \mathrm{P^{TQBF}} = \mathrm{NP^{TQBF}}[/math].

  1. [math] \mathrm{P} \subseteq \mathrm{NP} \Rightarrow \mathrm{P^{TQBF}} \subseteq \mathrm{NP^{TQBF}} [/math].
  2. Так как [math]S(p,x) \le T(p, x)[/math], то [math] \mathrm{NP} \subseteq \mathrm{NPS} \Rightarrow \mathrm{NP^{TQBF}} \subseteq \mathrm{NPS^{TQBF}} [/math].
  3. По теореме Сэвича [math] \mathrm{NPS^{TQBF}} = \mathrm{PS^{TQBF}} [/math].
  4. [math] \mathrm{TQBF} \in \mathrm{PS} \Rightarrow \mathrm{PS^{TQBF}} = \mathrm{PS} [/math].
  5. [math] \mathrm{TQBF} \in \mathrm{PSC} \Rightarrow \mathrm{PS} \subseteq \mathrm{P^{TQBF}} [/math].

Следовательно, [math]\mathrm{P^{TQBF}} = \mathrm{NP^{TQBF}}[/math]

Существование оракула [math]B[/math]

Пусть [math]B[/math] — произвольное множество, а [math]U_B = \{1^n \bigm| \exists x \in B : |x| = n\}[/math]. Ясно, что [math]\forall B[/math] выполнено [math]U_B \in \mathrm{NP}^B[/math] (сертификатом будет слово нужной длины из [math]B[/math]). Построим такое множество [math]B[/math], что [math]U_B \not\in \mathrm{P}^B[/math].

Пронумеруем все полиномиальные программы, получим последовательность [math]M_i[/math]. Множество [math]B[/math] будем строить итеративно, на очередной итерации номер [math]i[/math] делая так, что программа [math]M_i[/math] не распознает множество [math]U_B[/math].

В начале каждой итерации определимся с тем, с какой длиной слова [math]n[/math] мы будем работать. Для [math]n[/math] должны быть выполнены два условия:

  • [math]2^n \gt T(M_i, (1)^1[/math] (это ограничение может быть достигнуто, так как мы исследуем только полиномиальные программы)
  • [math]n \gt \max_{s \in B} |s|}[/math] (это ограничение может быть достигнуто, так как в множестве [math]B[/math] всегда конечное количество элементов)
[math]\triangleleft[/math]

Следствие

Утверждение:
Если существует решение вопроса равенства [math]\mathrm{P}[/math] и [math] \mathrm{NP}[/math], то оно не должно «релятивизоваться».

Для доказательства строгого включения классов часто используется метод диагонализации. Однако утверждения, полученные при помощи данной техники, могут быть «релятивизованы». То есть при «разрешении» машине Тьюринга доступа к оракулу некоторого языка доказанное соотношение классов сохраняется. Однако соотношение [math]\mathrm{P}[/math] и [math]\mathrm{NP}[/math] не должно «релятивизоваться» по теореме Бейкера-Гилла-Соловэя, следовательно, метод диагонализации не применим для решения этого вопроса.

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Теорема_Бейкера_—_Гилла_—_Соловэя&oldid=30989»