Конечная группа

Эта статья требует доработки!

1. Необходимо привести таблицы умножения всех конечных групп из не более шести элементов.

Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).

Определение:

Группа называется конечной, если множество ее элементов конечно. Мощность множества элементов группы [math]G[/math] называют порядком группы и обозначают [math]\vert G\vert[/math].

Таблицы умножения

Таблица умножения(таблица Кэли) — таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти ядро группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.

Структура

Пусть [math]\mathbb{A}_n[/math] = [math]\{a_1,a_2,\dots,a_n\}[/math] - группа из n элементов.

Тогда таблица будет выглядеть следующим образом образом:

*	a1	a2	...	an
a1	a1a1	a1a2	...	a1an
a2	a2a1	a2a2	...	a2an
...	...	...	...	...
an	ana1	ana2	...	anan

Свойства

1) Каждая строка или столбец являются перестановкой элементов группы

2) Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то операция умножения коммутативна

3) Если главная диагональ заполнена нейтральными элементами, то операция коммутативна

4) Если у таблицы группы A и таблицы группы B расположение ячеек с нейтральными элементами не одинаково, то группа A не изоморфна группе B

Построение

Вследствие первого свойства, можно заполнить таблицу не имея всей информации об операции умножения. Если таблицу заполнить не удаётся, значит операции, удовлетворяющей данным свойствам, не существует.

Алгоритм построения:

1) заполнить "скелет" таблицы - ячейки в которых стоит нейтральный элемент. "Скелет" симметричен относительно главной диагонали(если a - обратный к b, то b - обратный к a, то есть любой элемент коммутирует со своим обратным).

2) используя известные соотношения и свойство 2 заполнить таблицу.

Замечание: по соглашению в заголовках таблицы 1-ым идёт нейтральный элемент, затем элементы, которые совпадают с обратным, затем остальные.

Примеры

1) n = 1

*	e
e	e

2) n = 2

*	e	a
e	e	a
a	a	e

3) n = 3

*	e	a	b
e	e	a	b
a	a	b	e
b	b	e	a

4) n = 4

*	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e

5) n = 5

*	e	a	b	c	d
e	e	a	b	c	d
a	a	b	c	d	e
b	b	c	d	e	a
c	c	d	e	a	b
d	d	e	a	b	c

6) n = 6

*	e	a	b	c	d	f
e	e	a	b	c	d	f
a	a	e	d	f	b	c
b	b	f	e	d	c	a
c	c	d	f	e	a	b
d	d	c	a	b	f	e
f	f	b	c	a	e	d