Реализация запроса в дереве отрезков снизу

Реализация запроса снизу вверх

Алгоритм

Реализация запроса снизу вверх в дереве отрезков является, в отличие от реализации запроса сверху вниз, итеративным методом. Будем рассматривать абстрактную операцию, обладающую свойством ассоциативности.

Построим дерево отрезков и установим границы отрезка на соответствующие листья. Если элемент, попавший на левую границу, является правым сыном, то запишем в результат значение, полученное после выполнения нашей операции над предыдущим результатом и значением этого элемента, а левую границу перемещаем на один элемент вправо. Таким образом мы учтем вклад нужной нам вершины и избавимся от вклада ненужного нам поддерева. Аналогично действуем с элементом попавшим на правую границу (является ли этот элемент левым сыном). Затем устанавливаем границы отрезка на родительские элементы текущих границ. Это позволит узнать, входит ли полученный отрезок в искомый или нет. Продолжаем до тех пор, пока границы не пересекутся. Если после завершения цикла границы совпадут, значит полученный отрезок входит в искомый, и надо пересчитать результат, иначе — ничего делать не надо.

Псевдокод

Пусть ассоциативная операция, над которой построено дерево отрезков, обозначается a [math] \circ [/math] b, а результат считаем на отрезке [left, right]. При этом значения передающиеся в функцию left и right должны указывать на листья дерева (необходимо увеличить значение на индекс массива, с которого начинаются листья).

  query(left, right)
     result = neutral; // Присваиваем результату значение нейтрального элемента (например для поиска суммы надо присвоить значение 0)
     while left < right // Выполняем цикл до тех пор, пока левая и правая граница не пересекутся
        if left mod 2 == 0 // Проверяем, является ли левая граница правым сыном (индексация с 0)
           result = result [math] \circ [/math] data[left]; // Если является, то пересчитаем результат и перенесем левую границу
        left = left div 2; 
        // Если не является, то установим границу на родительский элемент текущей границы
        if right mod 2 == 1 // Аналогично проделываем операции с правой границей
           result = result [math] \circ [/math] data[right];
        right = (right - 2) div 2;
     if left == right // После окончания цикла проверяем совпали ли границы  
        result = result [math] \circ [/math] data[left]; // Если надо пересчитываем результат
     return result;

Ссылки

MAXimal :: algo :: Дерево отрезков

Википедия — Дерево отрезков

Визуализатор

Алгоритм