Хеширование кукушки

Пример хеширования кукушки. Стрелки показывают второе возможное место элементов. Если нам надо будет вставить новый элемент на место А, то мы поместим А в его вторую ячейку, занятую В, а В переместим в его вторую ячейку, которая сейчас свободна. А вот помещение нового элемента на место Н не получится: так как Н — часть цикла, добавленный элемент будет вытеснен после прохода по циклу.

Хеширование кукушки — один из способов борьбы с коллизиями при создании хеш-таблицы.

Алгоритм

Основная идея хеширования кукушки — использование двух хеш-функций вместо одной (далее [math]h_1(x)[/math] и [math]h_2(x)[/math]). Также есть вариант алгоритма, в котором используются две хеш-таблицы, и первая хеш-функция указывает на ячейку из первой таблицы, а вторая — из второй. Рассмотрим алгоритмы функций add(x), remove(x) и contains(x).

Выберем 2 хэш-функции [math]h_1(x)[/math] и [math]h_2(x)[/math] (из универсального семейства хэш-функций).

Add — добавляет элемент с ключом [math]x[/math] в хэш-таблицу

1. Если одна из ячеек с индексами [math]h_1(x)[/math] или [math]h_2(x)[/math] свободна, кладем в нее элемент. Проверяем, если хэш-таблица заполнена увеличиваем её размер.
2. Иначе произвольно выбираем одну из этих ячеек, запоминаем элемент, который там находится, помещаем туда новый.
3. Смотрим в ячейку, на которую указывает другая хеш-функция от элемента, который запомнили, если она свободна, помещаем его в нее. Проверяем, если хэш-таблица заполнена увеличиваем её размер.
4. Иначе запоминаем элемент из этой ячейки, кладем туда старый. Проверяем, не зациклились ли мы.
5. Если не зациклились, то продолжаем данную процедуру поиска свободного места пока не найдем свободное место или зациклимся.
6. Иначе выбираем 2 новые хеш-функции и перехешируем все добавленные элементы.

Remove — удаляет элемент с ключом [math]x[/math] из хэш-таблицы.

1. Смотрим ячейки с индексами [math]h_1(x)[/math] и [math]h_2(x)[/math].
2. Если в одной из них есть искомый элемент, просто помечаем эту ячейку как свободную.

Contains — проверяет на наличие элемента [math]x[/math] в хэш-таблице

1. Смотрим ячейки с индексами [math]h_1(x)[/math] и [math]h_2(x)[/math].
2. Если в одной из них есть искомый элемент, возвращаем true.
3. Иначе возвращаем false.

Зацикливание

Зацикливание может возникнуть при добавлении элемента. Пусть мы добавляем элемент [math]x[/math]. И обе ячейки [math]h_1(x)[/math] и [math]h_2(x)[/math] заняты. Пусть, элемент [math]x[/math] положили в ячейку [math]h_i(x)[/math]. Если в ходе перемещений элементов в таблице на очередном шаге мы опять хотим переместить элемент [math]x[/math] в ячейку [math]h_i(x)[/math], чтобы в ячейку [math]h_j(x) ~(i \ne j) [/math] поместить какой-то [math]y[/math] (это может произойти, если в ходе перемещений элемент [math]x[/math] был перемещен в ячейку [math]h_j(x)[/math]), то произошло зацикливание.

Например зацикливание возникнет если добавить в хэш-таблицу 3 элемента [math]x,y,z[/math] у которых [math]h_1(x)[/math] = [math]h_1(y)[/math] =[math]h_1(z)[/math] и [math]h_2(x)[/math] = [math]h_2(y)[/math] = [math]h_2(z)[/math] .

Время работы алгоритма

Удаление и проверка происходят за [math]O(1)[/math] (что является основной особенностью данного типа хеширования), добавление в среднем происходит за [math]O(1)[/math]. Первые два утверждения очевидны: требуется проверить всего лишь 2 ячейки таблицы.

Утверждение:

Добавление в среднем происходит за [math]O(1)[/math].

[math]\triangleright[/math]

Один из способов доказательства данного утверждения использует теорию случайных графов. Это делается через неориентированный "кукушкин граф", где каждой ячейке хеш-таблицы соответствует ровно одна вершина, а каждому добавленному элементу — ребро с концами в вершинах, соответствующих ячейкам, в которые указывают хеш-функции элемента. При этом элемент будет добавлен без перехеширования тогда и только тогда, когда после добавления нового ребра граф будет оставаться псевдолесом, то есть каждая его компонента связности будет содержать не более одного цикла.

[math]\triangleleft[/math]

Таким образом хеширование кукушки является одним из самых быстрых способов хеширования.

См. также

• Двойное хеширование

• Открытое и закрытое хеширование

Источники

• Wikipedia — Cuckoo hashing
• Cuckoo hashing — Pagh, Rasmus; Rodler, Flemming Friche (2001) (PDF, PS)