Дерево Фенвика для некоммутативных операций

Обычное дерево Фенвика позволяет выполнять некоторую ассоциативную, коммутативную, обратимую операцию [math] G [/math] на отрезке [math] [i; j] [/math] с изменением элементов. Описываемая модификация дает возможность отказаться от коммутативности [math] G [/math].

Обновление элемента

Как и ранее, для обновления элемента в дереве нужно изменить все, что хранит результат операции с этим элементом. Но теперь нельзя просто применить операцию [math] G [/math] (далее будем использовать мультипликативную нотацию) ко всем нужным элементам дерева. Пусть мы хотим изменить [math] a_i [/math] на [math] a_i' = a_i \cdot d [/math], в данный момент обновляем элемент дерева с индексом [math] j [/math]. Вместо [math] a_{j \& (j + 1)} \cdot \ldots a_i \cdot d \cdot \cdot \ldots \cdot a_j [/math] мы получим [math] a_{j \& (j + 1)} \cdot \ldots a_i \cdot \ldots \cdot a_j \cdot d [/math] (так как больше нельзя переставлять элементы местами в операции на отрезке, ответ будет неверен).

Решение — нужно удалить отрезок после изменяемого элемента, изменить элемент, после чего добавить этот отрезок снова. Пусть [math] s_i = a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_i [/math] — результат выполнения операции на префиксе [math] i [/math]; [math] s_{i, j} = s_i^{-1} \cdot s_j [/math] — результат ее выполнения на отрезке [math] [i; j] [/math]. Тогда элемент дерева с индексом [math] j [/math] обновляется как [math] t_j' = t_j \cdot s_{i, j}^{-1} \cdot d \cdot s_{i, j} [/math].

Доказательство

Может показаться, что этот способ не работает, так как [math] s_i [/math], возможно, уже было изменено, а [math] s_j [/math] — еще нет, значит, мы удаляем не тот отрезок, который должны удалить. Убедимся, что на самом деле все обновляется правильно. Учитывая, что [math] (x \cdot y)^{-1} = y^{-1} \cdot x^{-1} [/math], получаем:

[math] s_{i, j}' = (s_i \cdot d)^{-1} \cdot s_j = d^{-1} \cdot s_i^{-1} \cdot s_j = d^{-1} \cdot s_{i, j} [/math];

[math] {s_{i, j}'}^{-1} \cdot d \cdot s_{i, j}{'} = (d^{-1} \cdot s_{i, j})^{-1} \cdot d \cdot d^{-1} \cdot s_{i, j} = s_{i, j}^{-1} \cdot d \cdot d \cdot d^{-1} \cdot s_{i, j} = s_{i, j}^{-1} \cdot d \cdot s_{i, j} [/math], то есть элемент дерева изменяется на правильное значение.

Пример

Пусть есть массив из пяти матриц [math] a [/math]:

[math] \begin{array}{c||c||c||c||c} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\ \hline a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ \end{array} [/math]

Пусть [math] G [/math] — операция умножения матриц. Дерево Фенвика [math] t [/math] выглядит так:

[math] \begin{array}{c||c||c||c||c} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\ \hline t_0 = a_0 & t_1 = a_0 \cdot a_1 & t_2 = a_2 & t_3 = a_0 \cdot a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 & t_4 = a_4 \\ \end{array} [/math]

Пусть теперь [math] a_2 = a_2 \cdot d = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} [/math]. Значит, надо изменить [math] t_2 [/math] и [math] t_{2 | (2 + 1)} = t_3 [/math].

[math] t_2' = t_2 \cdot s_{2, 2}^{-1} \cdot d \cdot s_{2, 2} = t_2 \cdot (s_2^{-1} \cdot s_2)^{-1} \cdot d \cdot (t_2^{-1} \cdot t_2) = t_2 \cdot d = a_2' [/math]

После этого дерево выглядит так:

[math] \begin{array}{c||c||c||c||c} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\ \hline t_0 = a_0 & t_1 = a_0 \cdot a_1 & t_2 = a_2' & t_3 = a_0 \cdot a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 & t_4 = a_4 \\ \end{array} [/math]

[math] t_3' = t_3 \cdot s_{2, 3}^{-1} \cdot d \cdot s_{2, 3} = t_3 \cdot (s_2'^{-1} \cdot s_3)^{-1} \cdot d \cdot s_2'^{-1} \cdot s_3 = t_3 \cdot s_3^{-1} \cdot s_2' \cdot d \cdot s_2'^{-1} \cdot s_3 = \\ = t_3 \cdot (a_0 \cdot a_1 \cdot a_2 \cdot a_3)^{-1} \cdot (a_0 \cdot a_1 \cdot a_2') \cdot d \cdot (a_0 \cdot a_1 \cdot a_2')^{-1} \cdot (a_0 \cdot a_1 \cdot a_2 \cdot a_3) = \\ = \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 7 & 12 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & 12 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} [/math]

Время работы

Пусть в дереве [math] n [/math] элементов. Так как для каждого из [math] O(\log(n)) [/math] изменяемых элементов дерева мы совершаем дополнительно запрос суммы на отрезке(а он работает за [math] O(\log(n)) [/math] операций), то асимптотическое время работы обновления элемента ухудшается до [math] O(\log^2(n)) [/math].

Выполнение запроса

Выполнение запроса делается так же, как и в обычном дереве Фенвика, с той лишь разницей, что теперь важен порядок операндов в операции [math] G [/math].