Цепные дроби для sqrtd и квадратичных иррациональностей

Рассмотрим число [math]\alpha=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}[/math]. Заметим, что оно приведённое [math]\alpha\gt 1, [\sqrt{D}]-\sqrt{D}\in(-1;0)[/math]. Тогда сразу следуют следующие утверждения

• число [math][\sqrt{D}]+\sqrt{D}[/math] представимо в виде чисто периодической цепной дроби.
• [math]\sqrt{D}[/math] представимо в виде цепной дроби из [math]a_0[/math] и периода.
• [math]\sqrt{D}=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}-a_0[/math] значит [math]\sqrt{D}=\langle a_0, \overline{a_1,\cdots, a_n, 2a_0} \rangle[/math].

Теорема:

Период цепной дроби [math]\sqrt{d}[/math] состоит из симметричной части [math]a_1,\cdots, a_n[/math] и [math]2a_0[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]\alpha[/math] - приведённая и [math]\beta=-\frac{1}{\overline{\alpha}}[/math]. Так как [math]\beta_{n+1}=a_n+\frac{1}{\beta_n}[/math], то [math]\beta=\lt a_n,\cdots, a_0,\cdots[/math]. Рассмотрим [math]\sqrt{d}+[\sqrt{d}][/math] - приведённая. Рассмотрим [math]\alpha_1=\frac{1}{\alpha-[\alpha]}=\frac{1}{\sqrt{d}-[\sqrt{d}]}=\beta[/math]. Отсюда [math]\langle a_1, a_2,\cdots, a_n,\cdots\rangle=\langle a_n, a_{n-1},\cdots\rangle[/math]. Из единственности представления в цепную дробь следует утверждение теоремы.

[math]\triangleleft[/math]