Функции ограниченной вариации — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 10: Строка 10:
 
}}
 
}}
  
−
{{Теорема
 
−
|statement=
 
−
$f \in \bigvee (a, b) \Leftrightarrow f = f_1 - f_2$, где $f_{1,2}$ — монотонно неубывающие функции.<br>
 
−
$f$ — функция ограниченной вариации тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций.
 
−
|proof=
 
−
Некоторые вспомогательные утверждения:
 
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Строка 26: Строка 20:
 
Пусть $f'$ опредлена на $(a, b)$ и ограничена, тогда $f$ — функция ограниченной вариации.
 
Пусть $f'$ опредлена на $(a, b)$ и ограничена, тогда $f$ — функция ограниченной вариации.
 
|proof=
 
|proof=
 +
$f' < M \Rightarrow \bigvee_a^b (f) \le M(b - a) \le + \infty$
 +
}}
  
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
Не все непрерывные функции имеют ограниченную вариацию.
 +
|proof=
 +
Возьмем $f(x) = x \sin(\frac 1x), x \int [0; 1], f(0) = 0$
 +
{{TODO|t=ЭМ, ТУТ КАКОЙ-ТО ТРЕШ}}
 
}}
 
}}
  
 +
{{Теорема
 +
|about=аддитивность вариации
 +
|statement=
 +
Пусть $f(x) \in \bigvee(a, c)$ и $b \in [a, c]$, тогда $\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) = \bigvee\limits_b^c (f)$.
 +
|proof=
 +
1) Рассмотрим разбиения $\tau_1: a = x_0 < \dots < x_p = b, \tau_2: b = x_p < \dots < x_{p + m} = c$.
 +
$ \tau_1 \cup \tau_2 = a = x_0 < \dots < x_{p+m} = c $.
  
−
2) Пусть f' ограничена на (a, b).
+
По определению полной вариации, $\forall \varepsilon > 0 \exists \tau_1, \tau_2: \bigvee\limits_a^b (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1), \bigvee\limits_b^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2)$
−
|f'| \le M \Rightarrow |f(x_{k+1}) - f(x_k)| = |f'(\tilda x_k)| \Delta x_k \Rightarrow \bigvee_a^b (f) < \infty (Более того, f' — суммируема, поэтому вариация ограничена)
 
  
−
Не любая непрерывная функция имеет ограниченную вариацию:
+
$ \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) - 2 \varepsilon  < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) = \bigvee\limits_a^c (f, \tau_1 \cup \tau_2) \le \bigvee\limits_a^c(f) $
−
f(x) = x \sin \frac 1x, [0, 1] f(0) = 0
 
  
−
f'(x) = \sin \frac 1x - \frac 1x \cos \frac 1x
+
Устремляя $\varepsilon$ к 0, получаем $ \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) \le \bigvee\limits_a^c (f)$.
−
Производная ограничена на [a,  
+
2) Рассмотрим произвольное разбиение $\tau a = x_0 < \dots < x_n = c$. Заметим, что точка $b$ может не войти в это разбиение, поэтому получим из него разбиение $\tau' : a=x_0 < \dots < x_p = b < x_{p+1} < \dots < x_{p+m} = c$. Пусть $\tau_1$ — разбиение $a=x_0 < \dots x_p=b$, а $\tau_2$ — разбиение $x_p = b \dots x_{p+m} = c$. Тогда:
  
−
ТУТ ХРЕНЬ КАКАЯ-ТО
+
$ \bigvee\limits_a^c (f, \tau) \le \bigvee\limits_a^c (f, \tau') \le \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) $.
  
 +
$ \bigvee\limits_a^c (f, \tau) - \varepsilon \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) $. Устремляя $\varepsilon$ к 0, получим $ \bigvee\limits_a^c (f, \tau) \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) $. Объединяя этот результат с результатом 1 пункта, приходим к требуемому равенству.
 +
}}
  
−
Теорема a < b < c \Rightarrow \bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) = \bigvee\limits_b^c (f) — аддитивность вариации.
+
{{Теорема
−
Док-во: \forall \tau_1: a = x_0 < \dots < x_p = b, \forall \tau_2: b = x_p < \dots < x_{p + m} = c
+
|statement=
−
 
+
$f \in \bigvee (a, b) \Leftrightarrow f = f_1 - f_2$, где $f_{1,2}$ — монотонно неубывающие функции.<br>
−
\tau_1 \cup \tau_2 = a = x_0 < \dots < x_{p+m} = c
+
$f$ — функция ограниченной вариации тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций.
 +
|proof=
 +
}}
  
−
По определению полной вариации:
 
−
\forall \varepsilon > 0 \exists \tau_1, \tau_2:
 
−
\bigvee_a^b (f) - \varepsilon < \bigvee_a^b (f, \tau_1)
 
−
\bigvee_b^c (f) - \varepsilon < \bigvee_b^c (f, \tau_2)
 
  
−
\bigvee_a^b (f, \tau_1) + \bigvee_b^c (f, \tau_2) = \bigvee_a^c (f, \tau_1 \cup \tau_2) - 2 \varepsilon < \bigvee_a^c (f), в пределе
 
 
</wikitex>
 
</wikitex>

Версия 11:21, 20 июня 2012

<wikitex> Рассмотрим $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ и ее разбиение $\tau: a = x_0 < x_1 \dots < x_n = b$


Определение:
Вариацией функции $f$ по разбиению $\tau$ называется $\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}


Утверждение:
Пусть $f$ монотонно не убывает, тогда она ограниченной вариации.
[math]\triangleright[/math]
По определению неубывания, $
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Пусть $f'$ опредлена на $(a, b)$ и ограничена, тогда $f$ — функция ограниченной вариации.
[math]\triangleright[/math]
$f' < M \Rightarrow \bigvee_a^b (f) \le M(b - a) \le + \infty$
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Не все непрерывные функции имеют ограниченную вариацию.
[math]\triangleright[/math]

Возьмем $f(x) = x \sin(\frac 1x), x \int [0; 1], f(0) = 0$

TODO: ЭМ, ТУТ КАКОЙ-ТО ТРЕШ
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (аддитивность вариации):
Пусть $f(x) \in \bigvee(a, c)$ и $b \in [a, c]$, тогда $\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) = \bigvee\limits_b^c (f)$.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1) Рассмотрим разбиения $\tau_1: a = x_0 < \dots < x_p = b, \tau_2: b = x_p < \dots < x_{p + m} = c$. $ \tau_1 \cup \tau_2 = a = x_0 < \dots < x_{p+m} = c $.

По определению полной вариации, $\forall \varepsilon > 0 \exists \tau_1, \tau_2: \bigvee\limits_a^b (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1), \bigvee\limits_b^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2)$

$ \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) - 2 \varepsilon < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) = \bigvee\limits_a^c (f, \tau_1 \cup \tau_2) \le \bigvee\limits_a^c(f) $

Устремляя $\varepsilon$ к 0, получаем $ \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) \le \bigvee\limits_a^c (f)$. 2) Рассмотрим произвольное разбиение $\tau a = x_0 < \dots < x_n = c$. Заметим, что точка $b$ может не войти в это разбиение, поэтому получим из него разбиение $\tau' : a=x_0 < \dots < x_p = b < x_{p+1} < \dots < x_{p+m} = c$. Пусть $\tau_1$ — разбиение $a=x_0 < \dots x_p=b$, а $\tau_2$ — разбиение $x_p = b \dots x_{p+m} = c$. Тогда:

$ \bigvee\limits_a^c (f, \tau) \le \bigvee\limits_a^c (f, \tau') \le \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) $.

$ \bigvee\limits_a^c (f, \tau) - \varepsilon \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) $. Устремляя $\varepsilon$ к 0, получим $ \bigvee\limits_a^c (f, \tau) \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) $. Объединяя этот результат с результатом 1 пункта, приходим к требуемому равенству.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
$f \in \bigvee (a, b) \Leftrightarrow f = f_1 - f_2$, где $f_{1,2}$ — монотонно неубывающие функции.
$f$ — функция ограниченной вариации тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций.


</wikitex>

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Функции_ограниченной_вариации&oldid=25961»