Функции ограниченной вариации — различия между версиями
(Отмена правки 25986 участника Dgerasimov (обсуждение)) |
|||
| Строка 21: | Строка 21: | ||
|proof= | |proof= | ||
$f' < M \Rightarrow \bigvee_a^b (f) \le M(b - a) \le + \infty$ | $f' < M \Rightarrow \bigvee_a^b (f) \le M(b - a) \le + \infty$ | ||
| − | |||
}} | }} | ||
| Строка 33: | Строка 32: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
| − | |about= | + | |about=аддитивность вариации |
| − | аддитивность вариации | ||
|statement= | |statement= | ||
Пусть $f(x) \in \bigvee(a, c)$ и $b \in [a, c]$, тогда $\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) = \bigvee\limits_b^c (f)$. | Пусть $f(x) \in \bigvee(a, c)$ и $b \in [a, c]$, тогда $\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) = \bigvee\limits_b^c (f)$. | ||
| Строка 55: | Строка 53: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
| − | + | $f \in \bigvee (a, b) \Leftrightarrow f = f_1 - f_2$, где $f_{1,2}$ — монотонно неубывающие функции.<br> | |
| + | $f$ — функция ограниченной вариации тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций. | ||
|proof= | |proof= | ||
| − | + | }} | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
</wikitex> | </wikitex> | ||
Версия 16:31, 22 июня 2012
<wikitex> Рассмотрим $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ и ее разбиение $\tau: a = x_0 < x_1 \dots < x_n = b$
| Определение: |
| Вариацией функции $f$ по разбиению $\tau$ называется $\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |
| Утверждение: |
Пусть $f$ монотонно не убывает, тогда она ограниченной вариации. |
| По определению неубывания, $ |
| Утверждение: |
Пусть $f'$ опредлена на $(a, b)$ и ограничена, тогда $f$ — функция ограниченной вариации. |
| $f' < M \Rightarrow \bigvee_a^b (f) \le M(b - a) \le + \infty$ |
| Утверждение: |
Не все непрерывные функции имеют ограниченную вариацию. |
|
Возьмем $f(x) = x \sin(\frac 1x), x \int [0; 1], f(0) = 0$ TODO: ЭМ, ТУТ КАКОЙ-ТО ТРЕШ |
| Теорема (аддитивность вариации): |
Пусть $f(x) \in \bigvee(a, c)$ и $b \in [a, c]$, тогда $\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) = \bigvee\limits_b^c (f)$. |
| Доказательство: |
|
1) Рассмотрим разбиения $\tau_1: a = x_0 < \dots < x_p = b, \tau_2: b = x_p < \dots < x_{p + m} = c$. $ \tau_1 \cup \tau_2 = a = x_0 < \dots < x_{p+m} = c $. По определению полной вариации, $\forall \varepsilon > 0 \exists \tau_1, \tau_2: \bigvee\limits_a^b (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1), \bigvee\limits_b^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2)$ $ \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) - 2 \varepsilon < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) = \bigvee\limits_a^c (f, \tau_1 \cup \tau_2) \le \bigvee\limits_a^c(f) $ Устремляя $\varepsilon$ к 0, получаем $ \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) \le \bigvee\limits_a^c (f)$. 2) Для любого $\varepsilon > 0 \exists \tau \bigvee\limits_a^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^c (f, \tau)$. Однако в это разбиение может не войти точка $b$ в это разбиение, поэтому получим из него разбиение $\tau' : a=x_0 < \dots < x_p = b < x_{p+1} < \dots < x_{p+m} = c$. Пусть $\tau_1$ — разбиение $a=x_0 < \dots x_p=b$, а $\tau_2$ — разбиение $x_p = b \dots x_{p+m} = c$. Тогда: $\bigvee\limits_a^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^c (f, \tau) \le \bigvee\limits_a^c (f, \tau') \le \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) $. Устремляя $\varepsilon$ к 0, получим $ \bigvee\limits_a^c (f) \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) $. Объединяя этот результат с результатом 1 пункта, приходим к требуемому равенству. |
| Теорема: |
$f \in \bigvee (a, b) \Leftrightarrow f = f_1 - f_2$, где $f_{1,2}$ — монотонно неубывающие функции. $f$ — функция ограниченной вариации тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций. |
</wikitex>
