Изменения
→Примеры
* Рассмотрим <tex>G=\mathbb{Z}</tex> и её нормальную подгруппу <tex>H=n\mathbb{Z}</tex>, тогда <tex>G/H=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> (группы вычетов по модулю <tex>n</tex>) будет являться факторгруппой G по H.
* Рассмотрим группу невырожденных матриц <tex> GL_n</tex>. Отображение <tex>A \rightarrow \det A</tex> является гомоморфизмом <tex>GL_n \rightarrow \mathbb{R}</tex>. Ядро — группа матриц с единичным определителем <tex>SL_n</tex>. Поэтому <tex>SL_n</tex> является нормальной подгруппой в <tex>GL_n</tex> и факторгруппа <tex>GL_n/SL_n=\mathbb{R}</tex>.
* Подгруппа ортогональных матриц <tex>O_n\subset GL_n</tex> не является нормальной. Рассмотрим любую матрицу <tex>A \in GL_n,\, U \in O_n</tex> и проверим ортогональность матрицы <tex> AUA^{-1} </tex>: <tex> (AUA^{-1})^T(AUA^{-1})=(A^{-1})^TU^TA^TAUA^{-1}\neq E</tex>. То есть <tex>AO_nA^{-1}\neq O_n</tex>, что и означает, что <tex>O_n</tex> не является нормальной подгруппой <tex>GL_n</tex>.
[[Категория: Теория групп]]
