Изменения

<tex>f \in L_1</tex>, <tex>\sigma(f, x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)</tex>

Докажем, что <tex> F(x) \in \bigvee </tex> 1) '''Органиченность вариации''' <tex>|F(x_{k+1}) - F(x_k)| \stackrel{\le}{x_k \le < x_{k+1}}{\le} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \left|f(t) - \frac{a_0}2\right| dt</tex>

Создадим разбиение нашего промежутка: <tex> -\pi = x_0 < \dots < x_p = \pi </tex>. Тогда вариация

ЗначитТак как это выполняется для любого разбиения, <tex>\bigvee\limits_{-\pi}^\pi(F) \le \int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| \le < +\infty</tex> . Итак, на <tex>QF</tex> имеет ограниченную вариацию на <tex>fQ</tex> имеет ограниченную вариацию.

Проверим, что <tex>F</tex> {{---}} <tex>2\pi</tex>-периодична. ) '''Периодичность'''

<tex>= \int\limits_{-\pi}^\pi f - \pi a_0</tex> = [по определению <tex>a_0</tex>] <tex>\pi a_0 - \pi a_0 = 0</tex>

Итак, <tex>F \in \bigvee</tex>. Значит,по [[теорема Жордана|теореме Жордана]], в каждой точке ряд Фурье этой функции сходится,

Теперь вычислим коэффициенты Фурье <tex>F</tex>. <tex>a_0(F)</tex> считать пока не будем. <tex>a_n(F) = \frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi F(x) \cos nx dx = \frac1\pi \int\limits_{-\pi}^\pi F(x) d(\sin nx) </tex><tex>= \frac1{\pi n} (F(x) \sin x)^\pi_{-\pi} - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin x dF(x) = 0 - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin x dF(x)</tex> Сошлёмся на пока неизвестный фактТакже предположим (далее его установимдокажем это позже), что <tex>F</tex> для почти всех <tex>x</tex> дифференцируема по верхнему пределу интегрирования и значение производной равно <tex>f(x)</tex>.

<tex>a_n(F) = \frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi F(x) \cos nx dx = \frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi F(x) d(\sin nx) = </tex><tex> \frac1{\pi n} (F(x) \sin x) \bigl |^\pi_{-\pi} - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin nx dF(x) ) = </tex><tex> -\frac1{\pi n} (0 - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin x dF(x)) = -\frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi \sin nx dF(x) =</tex><tex> -\frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx dx = -\frac{b_n \pi}{\pi n} = -\frac{b_n }{n } </tex>{{TODO|t=подозрительно}}

Значит, <tex>a_n(F) = \frac{-b_n(f)}{n}</tex>. Аналогично, <tex>b_n(F) = \pi frac{a_n(f)}{n}</tex>. В силу сказанного выше,

Рассмотрим ряд <tex>\sum\limits_{n=12}^\infty \frac{\sin nx}{\ln n}</tex>. Очевидно, <tex>\frac1{\ln n} \to 0</tex>. При <tex>x = 0</tex> ряд сходится. При <tex>x \ne 0</tex>, <tex>\left|\sum\limits_{n=0}^\infty \sin nx \right| \le \frac{M(x)}{\sin x/2}</tex>, то есть, ограничен.

По признаку Абеля-Дирихле, При <tex>x = 0</tex> ряд сходится. Мы имеем рядПри <tex>x \ne 0</tex>, сходящийся в каждой точке <tex>\left|\sum\limits_{n=2}^\infty \sin nx \right| \le \frac{M(но не может сходиться равномерноx)}{\sin x/2}</tex>, так както есть, иначе, он был бы рядом Фурье)ограничен.

ПредположимПо признаку Абеля-Дирихле, что это ряд Фурьесходится. <tex>b_nМы имеем ряд, сходящийся в каждой точке (fно не может сходиться равномерно на Q, так как, иначе, он был бы рядом Фурье) = \int \frac1{\ln n}</tex>

Предположим, что это ряд Фурье. Тогда <tex>b_n(f) = \int \frac1{\ln n}</tex> и ряд <tex>\sum \frac1{n\ln n}</tex> должен был бы сходиться. Но по интегральному признаку Коши <tex>\sum \frac1{n\ln n} ~ \sim \int \frac{dx}{n\ln n} = \ln \ln x \big|^\infty_0 = +\infty</tex>. Значит, это не ряд Фурье.

Вернёмся ещё раз к формуле <tex>F(x) = \frac{a_0(F)}2 + \sum\limitslimits_{n=1}^\infty \left(\frac{-b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n \sin nx\right)</tex>. Рассмотрим <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n \sin nx</tex>

Ряд Фурье всегда можно интегрировать, несмотря на то, что сам ряд может расходиться в каждой точке. Но ряд из интегралов обязательно сойдётся.  {{Теорема|author=Лузин, Данжуа|statement={{TODO|t=???}}|proof={{TODO|t=????}}}}