Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке

<<>>

Эта статья находится в разработке!

В этом параграфе установим ряд результатов, гарантирующих, что [math]\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_0^\pi \varphi_x(t) D_n(t) dt = 0[/math], что равносильно [math]S_n(f, x) \to S[/math].

Теорема Дини

Теорема (Дини):

[math]f\in L_1[/math], [math] S \in \mathbb{R}[/math], [math]\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt \lt +\infty[/math], где [math]\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x - t) - 2S[/math] . Тогда [math] S = \lim\limits_{n\to\infty} S_n(f, x)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]S_n(f, x) - S = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t) \frac1{2\pi} \frac{\sin(n + 1/2)t}{\sin t/2} dt[/math] [math]= \frac1{2\pi} \int\limits_0^\pi \varphi_x(t) \cos nt dt + \frac1{2\pi}\int\limits_0^\pi \varphi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2} \sin nt dt[/math] По лемме Римана-Лебега, так как [math]\varphi_x(t)[/math] — суммируемая, первое слагаемое при [math]n\to\infty[/math] стремится к 0. Так как, по условию, [math]\int\limits_0^\pi \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt \lt +\infty[/math], [math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0 : \int\limits_0^\delta \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt \lt \varepsilon[/math] Тогда [math]\left|\int\limits_0^\pi \varphi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2} \sin nt dt \right|[/math] [math]\le \int\limits_0^{\delta} |\varphi_x(t)| \frac{1}{\sin t/2 [\ge t/\pi]} dt + \left| \int\limits_\delta^\pi \varphi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2} \sin nt dt \right|[/math] [math]\int\limits_0^\delta \le \pi \int\limits_0^\delta \frac{|\varphi_x(t)|}{t} dt[/math] [math]\le \pi\varepsilon [/math] по выбору [math]\delta[/math] и по условиям теоремы. [math]\int\limits_\delta^\pi \xrightarrow[n\to\infty]{} 0 [/math] по лемме Римана-Лебега, так как [math]\varphi_x(t)[/math] — суммируемая, а [math]\frac{\cos t/2}{\sin t/2}[/math] — ограниченная и суммируемая.

[math]\triangleleft[/math]

Выведем некоторые следствия

Следствие о четырех пределах

Утверждение (следствие 1 (о четырёх пределах)):

Пусть в точке [math]x[/math] существует [math]f(x \pm 0)[/math] (левый и правый пределы), а также существуют [math]\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}[/math] и [math]\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}[/math]. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна [math]\frac{f(x+0)+f(x-0)}2[/math]

[math]\triangleright[/math]

Примечание: Очевидно, что все четыре предела будут, если в точке [math]x[/math] у [math]f[/math] есть производная. Доказательство сводится к проверке условий Дини для [math]s = \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}[/math] [math]\frac{|\varphi_x(t)|}t \le \frac{|f(x + t) - f(x + 0)|}{t} + \frac{|f(x - t) - f(x - 0)|}{t}[/math] Первое слагаемое стремится на бесконечности к [math]\alpha[/math], второе — к [math]\beta[/math]. Значит, [math]\frac{|\varphi_x(t)|}t[/math] ограничена справа от нуля и суммируема, то есть, теорема Дини применима.

[math]\triangleleft[/math]

Следствие 2

Утверждение:

Пусть [math]x[/math] — регулярная точка функции и [math]S_n(f, x) \to S[/math]. Тогда [math]S = \frac{f(x+0)+f(x-0)}2[/math]

[math]\triangleright[/math]

[math]x[/math]— регулярная точка [math]\Rightarrow[/math] по следствию теоремы Фейера, [math]\sigma_n(f, x) \to \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}[/math] Но суммы Фейера — способ средних арифметических для сумм ряда Фурье. Способ средних арифметических регулярен: то есть, если [math]S_n(f, x) \to S[/math], то и [math]\sigma_n(f, x) \to S[/math]. Тогда, по единственности предела, [math]S=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Следствие 3

Утверждение:

[math]f, g \in C[/math], [math]a_n(f)=a_n(g)[/math], [math]b_n(f) = b_n(g)[/math], тогда [math]f=g[/math]

[math]\triangleright[/math]

Действительно, из совпадения коэффициентов Фурье вытекает совпадение сумм Фейера, но в силу принадлежности [math]C[/math], [math]\sigma_n(f, x) \to f(x)[/math], [math]\sigma_n(g, x) \to g(x)[/math] для любого [math] x [/math]. Тогда, сопоставляя с равенством сумм, по единственности предела получаем: [math] f = g [/math].

[math]\triangleleft[/math]

<<>>