Теорема Жордана

<<>>

Эта статья находится в разработке!

Определение:

[math]\|f\|_C = \sup |f(x)|[/math]

Утверждение:

Пусть [math]E_n(f)_C\ln n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 [/math]. Тогда [math]\sigma(f)[/math] равномерно сходится к [math]f[/math].

[math]\triangleright[/math]

Если [math]f\in C[/math], то по теореме Фейера, суммы Фейера [math]\sigma_n(f) \rightrightarrows f[/math]. Другими словами, ряд Фурье будет сходиться к [math]f[/math] равномерно в смысле средних арифметических. Теперь рассмотрим случай [math] f \notin C [/math]. Пусть [math]T_n(x)[/math] — полином степени не выше [math]n[/math] наилучшего приближения [math] f [/math] в [math]C[/math], то: [math]E_n(f)_C = \|f - T_n\|_C[/math], [math]s_n(T_n, x) = T_n(x)[/math] Значит, [math]s_n(f, x) - f(x) = (s_n(f,x)-T_n(x)) + (T_n(x) - f(x))[/math] [math]= s_n(f - T_n, x) + T_n(x) - f(x) = [/math] (применяя интеграл Дирихле) [math]= \int\limits_Q (f(x + t) - T(x + t))D_n(t) dt + T_n(x) - f(x)[/math]. Поэтому, [math]|s_n(f, x) - f(x)| \le \int\limits_Q |f(x+t) - T_n(x+t)| \cdot |D_n(t)| dt + |T_n(x) - f(x)|[/math] Итого: [math]\|s_n(f) - f\|_C \le \int\limits_Q |D_n(t)| dt \|f-T_n\|_C + \|f-T_n\|_C = \left(\int\limits_Q |D_n(t)| dt + 1\right) E(f)_C[/math] Пусть [math] \int\limits_Q |D_n(t)| dt = l_n [/math]. Тогда [math]\|s_n(f)-f\|_C \le (l_n + 1) E_n(f)_C[/math], [math]E_n(f)_C \xrightarrow[n \to \infty]{} 0[/math] (по теореме Вейерштрасса) Если [math]l_n E_n(f)_C \to 0[/math], то [math]\|S_n(x) - f\|_C \to 0 [/math] [math]\iff[/math] [math]f_n(t) \rightrightarrows f [/math] на [math]\mathbb{R}[/math]. Так как [math]l_n \sim \ln n[/math], получаем искомый результат.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Жордан):

Ряд Фурье [math]2\pi[/math]-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу [math]\frac{f(x-0)+f(x+0)}2[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]\sigma(f, x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)[/math]. Можно представить [math]a_n \cos nx + b_n\sin nx [/math] как [math] r_n \cos(nx + \phi_n)[/math], где [math]r_n=\sqrt{a_n^2 + b_n^2}[/math]. Тогда [math]|a_n \cos nx + b_n \sin nx| \le r_n[/math]. Cогласно теореме Харди, учитывая последнее неравенство, если [math]\sum\limits_{k=n}^\infty r_k^2 \le \frac Mn[/math], то [math]s_n(f) \rightrightarrows f[/math], то есть, ряд Фурье будет равномерно сходиться к функции [math]f[/math]. Рассмотрим функцию [math]f \in \bigvee[/math], [math]f[/math] — разность двух возрастающих, значит, каждая её точка регулярна. По следствию из теоремы Фейера, [math]\sigma_n(f, x) \to \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}[/math]. С другой стороны, для таких функций [math]|a_n(t)|, |b_n(t)| \le \frac Mn[/math], то есть [math]r_n^2 \le \frac {M_1}{n^2}[/math]. Значит, [math]\sum\limits_{k=n}^\infty r_k^2[/math] [math]\le \sum\limits_{k=n}^\infty \frac{M_1}{k^2}[/math] [math]\lt M_1 \sum\limits_{k=n}^\infty \frac1{k(k-1)}[/math] [math]= M_1 \sum\limits_{k=n}^\infty (\frac1{k-1} - \frac1k)[/math] [math]= \frac{M_1}{n - 1}[/math] Получилось условие теоремы Харди, в силу которой начнёт сходиться ряд Фурье в точке [math]x[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пусть [math]f\in CV [/math] ([math] f [/math] — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда [math] \forall x: f[/math] раскладывается в равномерно сходящийся ряд Фурье.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Применим прошлую теорему. Получим, что сходится к числу [math]\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}[/math]. Так как функция непрерывна, [math]f(x+0)=f(x-0)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Примеры

Приведём некоторые примеры на эту тему.

Пример

[math] f(x) = \begin{cases} -1 &, x\in\langle-\pi; 0\rangle\\ 1 &, x \in\langle0; \pi\rangle\\ \end{cases} [/math], [math]2\pi[/math]-периодично продолженная.

[math]\langle\rangle[/math] можно ставить, так как [math]a_1(t) = \frac1\pi \int\limits_Q f(x) \cos nx dx [/math] — интеграл Лебега, на множестве нулевой меры его можно менять как душе угодно.

Функция нечётная [math]\Rightarrow[/math] коэффициенты при косинусах нулевые.

[math]b_n(f) = \frac2\pi \int\limits_0^\pi \sin nx dx [/math] [math]=-\frac2\pi \cos nx \big|_0^\pi[/math] [math]=\frac2{\pi n} (1 - (-1)^n)[/math] [math]= \begin{cases} 0 &, n = 2k, k \in \mathbb{Z}\\ \frac{4}{\pi n} &, n = 2k+1, k \in \mathbb{Z}\\ \end{cases}[/math]

Составим ряд Фурье: [math]\sigma(f, x)= \sum\limits_{n=0}^\infty \frac4{\pi(2m+1)} \sin (2m+1)x[/math]

Хотим найти сумму. Очевидно, [math]f \in \bigvee[/math]

В любом случае, [math]\sigma(f, x) = \frac{f(x+0)+f(x-0)}2[/math] [math]=\begin{cases} 0 &, x = 0\\ -1 &, x \lt 0\\ 1 &, x \gt 0 \end{cases}[/math]

Значение в нуле: [math]\sigma(f, 0) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac4{\pi(2m+1)} \sin 0 = 0[/math]

Значение в [math]\frac\pi2[/math]: [math]\sigma(f, \frac\pi2) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac4{\pi(2m+1)} \sin \frac{(2m+1)\pi}{2}[/math] [math]= \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^m \frac1{2m+1}[/math] [math]= \frac{\pi}{4}[/math]

Пример

[math]f(x) = |x|[/math], [math]x \in \langle-\pi; \pi\rangle[/math], [math]2\pi[/math]-периодически продолженная.

Получаем функцию из класса [math]CV[/math], ряд Фурье равномерно сходится к ней.

Функция чётная, значит, будут только слагаемые с косинусами:

[math]a_n(f) = \frac2\pi \int\limits_Q x \cos nx dx[/math] [math]= \frac{2}{\pi n}\int\limits_Q x d(\sin nx) [/math] [math]= \frac2{\pi n}\left(x\sin x \big|_0^\pi - \int\limits_0^\pi \sin nx dx \right)[/math] [math]= \frac2{\pi n^2} \cos nx \big|_0^\pi[/math] [math]= \frac2{\pi n^2} ((-1)^n - 1)[/math] [math]= \begin{cases} 0 &, n = 2m, m \in \mathbb{Z}\\ -\frac{4}{\pi n^2} &, n = 2m+1, m \in \mathbb{Z}\\ \end{cases} [/math]; [math]a_0 = \frac2\pi \int\limits_0^\pi x dx = \pi[/math]

На [math]\langle-\pi; \pi\rangle[/math], [math]|x| = \frac\pi2 - \frac4\pi\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{\cos(2m+1)x}{(2m+1)^2}[/math]

[math]x = 0: \sum\limits_{m=0}^\infty \frac1{(2m+1)^2} = \frac{\pi^2}8[/math]

<<>>