Теоретико-числовые функции

Эта статья находится в разработке!

Мультипликативность функции

Функция [math] \theta (a) [/math] называется мультипликативной, если выполнены следующие условия:

• 1. Функция [math] \theta (a) [/math] определена для всех целых положительных a и не обращается в 0 хотя бы при одном таком a
• 2. Для любых положительных взаимно простых [math] a_1 [/math] и [math] a_2 [/math] имеем [math] \theta(a_1 a_2) = \theta(a_1)\theta(a_2) [/math]

Функция Эйлера

Функция Эйлера [math]\varphi (a) [/math] определяется для всех целых положительных a и представляет собою число чисел ряда [math]0, 1, \ldots, a-1 [/math], взаимно простых с a.

Примеры:

[math] \varphi (1) = 1[/math], [math] \varphi (4) = 2[/math],
[math] \varphi (2) = 1[/math], [math] \varphi (5) = 4[/math],
[math] \varphi (3) = 2[/math], [math] \varphi (6) = 2[/math].

Свойства функции Эйлера

• 1. Функция Эйлера является мультипликативной [math] \varphi(a_1 a_2) = \varphi(a_1)\varphi(a_2) [/math].
• 2. Пусть [math] a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}[/math] — каноническое разложение числа a, тогда

[math] \varphi (a) = a(1 - \frac{1}{p_1}) (1 - \frac{1}{p_2}) \ldots (1 - \frac{1}{p_k})[/math]

Количество делителей

Арифметическая функция [math]~\tau (a) [/math] определяется как число положительных делителей натурального числа a:

[math] ~\tau(a) = \sum_{d|a} 1 [/math]

Если a и b взаимно просты, то каждый делитель произведения ab может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей a и b, и обратно, каждое такое произведение является делителем ab. Отсюда следует, что функция [math]~\tau[/math] мультипликативна:

[math] ~\tau(ab) = \tau(a) \tau(b) [/math]

Пусть [math] a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}[/math] - каноническое разложение числа a, то в силу мультипликативности

[math] ~\tau(a) = \tau(p_1^{\alpha_1}) \tau(p_2^{\alpha_2}) \ldots \tau(p_k^{\alpha_k}) [/math]

Но положительными делителями числа [math]p_i^{\alpha_i}[/math] являются [math]~\alpha_i+1[/math] чисел [math]1, p_i, \ldots, p_i^{\alpha_i}[/math].

Значит,

[math] ~\tau(n) = (\alpha_1+1) (\alpha_2+1) \ldots (\alpha_k+1) [/math]

Сумма делителей

Функция [math]~\sigma (a) [/math] определяется как сумма делителей натурального числа a:

[math] ~\sigma (a) = \sum_{d|a} d [/math]

Функция [math]~\sigma (a) [/math] мультипликативна по тем же соображениям, что и [math]~\tau (a) [/math]

[math] ~\sigma (ab) = \sigma (a) \sigma(b) [/math]

Функция Мёбиуса

Функция Мёбиуса [math] \mu (a) [/math] определяется для всех целых положительных a. Она задается равенствами:

• [math] \mu (a) = 0 [/math], если a делится на квадрат, отличный от 1.
• [math] \mu (a) = {(-1)}^k [/math], если a не делится на квадрат, где k - число простых делителей a.

Свойства

• 1. Функция Мёбиуса мультипликативна.
• 2. Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа n, не равного единице, равна нулю

[math]\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n\gt 1.\end{cases}[/math]

Свертка Дирихле

Сверткой Дирихле двух мультипликативных функций f и g, называется функция вида:

[math] (f*g)(n) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d})[/math]

Теорема. [math] (f*g) [/math] - мультпликативна. Доказательство: [math] (m;n)=1 \text{ ,} (f*g)(mn) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{nm}{d}) = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1 d_2)g(\frac{nm}{d_1 d_2}) = [/math]
[math] = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1) f(d_2)g(\frac{n}{d_1}) g(\frac{m}{d_2}) = (\sum_{d_1|n} f(d_1)g(\frac{n}{d_1}))*(\sum_{d_2|m} f(d_2)g(\frac{m}{d_2})) [/math] ч.т.д.