Теорема Холла — различия между версиями
(→Теорема) |
(→Теорема) |
||
Строка 21: | Строка 21: | ||
|proof= | |proof= | ||
* Очевидно, что если существует полное паросочетание, то для любого <tex>A \subset L </tex> выполнено <tex>|A| \leq |N(A)|</tex>. У любого подмножества вершин есть по крайней мере столько же "соседей"("соседи по парасочетанию"). | * Очевидно, что если существует полное паросочетание, то для любого <tex>A \subset L </tex> выполнено <tex>|A| \leq |N(A)|</tex>. У любого подмножества вершин есть по крайней мере столько же "соседей"("соседи по парасочетанию"). | ||
− | Пусть граф <tex>G'</tex> изначально имеет левую долю <tex>L'</tex>, которая содержит одну любую вершину из <tex>L</tex>, и правую <tex>R' = R</tex> | + | Пусть граф <tex>G'</tex> изначально имеет левую долю <tex>L'</tex>, которая содержит одну любую вершину из <tex>L</tex>, и правую <tex>R' = R</tex>. |
*В обратную сторону докажем по индукции(будем добавлять какую-нибудь вершину <tex>x</tex> из <tex>L</tex> в <tex>L'</tex> и доказывать что в <tex>L'</tex> есть паросочетание, насыщающее все вершины из L'). Таким образом, в конце получим что <tex>G'</tex> совпадает с <tex>G</tex>. Из этого будет следовать существование в <tex>G</tex> полного паросочетания. | *В обратную сторону докажем по индукции(будем добавлять какую-нибудь вершину <tex>x</tex> из <tex>L</tex> в <tex>L'</tex> и доказывать что в <tex>L'</tex> есть паросочетание, насыщающее все вершины из L'). Таким образом, в конце получим что <tex>G'</tex> совпадает с <tex>G</tex>. Из этого будет следовать существование в <tex>G</tex> полного паросочетания. | ||
#База: Одна вершина соединена хотя бы с одной вершиной из <tex>R</tex>. Следовательно база верна. | #База: Одна вершина соединена хотя бы с одной вершиной из <tex>R</tex>. Следовательно база верна. |
Версия 22:43, 22 декабря 2012
Содержание
Определения
Пусть
- двудольный граф. - множество вершин первой доли. - множество вершин правой доли.Определение: |
Полным(совершенным) паросочетанием называется паросочетание в которое входят все вершины. |
Определение: |
Пусть | . Множeство соседей определим формулой:
Теорема
Теорема (Холл): |
Полное паросочетание существует тогда и только тогда, когда для любого выполнено . |
Доказательство: |
Пусть граф изначально имеет левую долю , которая содержит одну любую вершину из , и правую .
|