Теорема Холла

Определения

Пусть [math]G(V,E)[/math] - двудольный граф. [math]L[/math] - множество вершин первой доли. [math]R[/math] - множество вершин правой доли.

Определение:

Полным(совершенным) паросочетанием называется паросочетание в которое входят все вершины.

Определение:

Пусть [math]X \subset V [/math]. Множeство соседей [math]X[/math] определим формулой: [math]N(X)= \{ y \in V: (x,y) \in E \}[/math]

Теорема

Теорема (Холл):

Полное паросочетание существует тогда и только тогда, когда для любого [math]A \subset L [/math] выполнено [math]|A| \leq |N(A)|[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Очевидно, что если существует полное паросочетание, то для любого [math]A \subset L [/math] выполнено [math]|A| \leq |N(A)|[/math]. У любого подмножества вершин есть по крайней мере столько же "соседей"("соседи по парасочетанию"). Пусть граф [math]G'[/math] изначально имеет левую долю [math]L'[/math], которая содержит одну любую вершину из [math]L[/math], и правую [math]R' = R[/math]. В обратную сторону докажем по индукции(будем добавлять какую-нибудь вершину [math]x[/math] из [math]L[/math] в [math]L'[/math] и доказывать что в [math]L'[/math] есть паросочетание, насыщающее все вершины из L'). Таким образом, в конце получим что [math]G'[/math] совпадает с [math]G[/math]. Из этого будет следовать существование в [math]G[/math] полного паросочетания. База: Одна вершина соединена хотя бы с одной вершиной из [math]R[/math]. Следовательно база верна. Переход: Пусть после [math]k[/math] добавлений в [math]G'[/math] можно построить паросочетание [math]P[/math], насыщающее все вершины из [math]L'[/math]. Докажем что после добавления вершины [math]x[/math] в [math]G'[/math] будет существовать паросочетание насыщающее все вершины [math]L'[/math].Добавим [math]x[/math] в [math]G'[/math]. Рассмотрим множество вершин [math]H[/math] - все вершины достижимые из [math]x[/math], если можно ходить из [math]R'[/math] в [math]L'[/math] только по ребрам из [math]P[/math], а из [math]L'[/math] в [math]R'[/math] по любым ребрам из [math]G'[/math]. Тогда в H найдется вершина y из R', не принадлежащая P, иначе, если рассмотреть вершины [math]H_L[/math](вершины из [math]H[/math] принадлежащие [math]L'[/math]), то для них не будет выполненj [math]|H_L| \gt |N(H_L)|[/math]. Тогда путь из [math]x[/math] в [math]y[/math] будет удлиняющим для паросочетания [math]P[/math](т.к из [math]R'[/math] в [math]L'[/math] мы проходили по ребрам паросочетания [math]P[/math]). Увеличив паросочетание P вдоль этого пути получаем искомое паросочетание. Следовательно предположение индукции верно.

[math]\triangleleft[/math]