Нормированные пространства (3 курс) — различия между версиями
(Новая страница: «<wikitex> {{Определение |id=defvs |definition= '''Линейное (векторное) пространство над полем $K$''' — это ...») |
|||
| Строка 16: | Строка 16: | ||
** дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — $\forall \alpha, \beta \in K \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$ | ** дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — $\forall \alpha, \beta \in K \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$ | ||
}} | }} | ||
| + | |||
| + | {{Определение | ||
| + | |id=defnorm | ||
| + | |definition= | ||
| + | Функция $\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}$ называется нормой в пространстве $L$, если для нее выполняется: | ||
| + | # $\forall x \in L: \| x \| \ge 0$, $\| x \| = 0 \Leftrightarrow x = \mathrm{0}$ | ||
| + | # $\forall \alpha \in \mathbb{R} \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|$ | ||
| + | # $\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|$ | ||
| + | Пространство с введенной на нем нормой называют '''нормированным пространством'''. | ||
| + | }} | ||
| + | |||
| + | Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как $\rho(x, y) = \| x - y \|$. Заметим, что обратное неверно: например, хоть и $\mathbb{R}^{\infty}$ c $\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}$ можно наделить линейной сткуртурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой. | ||
| + | |||
| + | Смысл нормы в ЛП состоит в том, чтобы линейные операции относительно нормы стали непрерывными: TODO что-то не особенно понял, к чему тут это | ||
| + | |||
| + | Примеры НП: | ||
| + | * $X = \mathbb{R}^n, \| \overline x \| = \sqrt {\sum_{k = 1}^{n} x_k^2}$ | ||
| + | * $X = C[a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, $\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|$ | ||
| + | * $X = L_p$ — пространство TODO пшшш,$\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}$, | ||
| + | |||
| + | {{Определение | ||
| + | |definition= | ||
| + | Нормированное пространство $(X, \|\cdot\|)$ называется '''B-пространством (Банаховым)''', если для любой последовательности элементов $X$, для которых из $\|x_n - x_m\| \to 0$ при $n, m \to \infty$ вытекает существование предела последовательности. | ||
| + | }} | ||
| + | |||
| + | Ссылочки: | ||
| + | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space Vector space] | ||
</wikitex> | </wikitex> | ||
Версия 02:41, 31 декабря 2012
<wikitex>
| Определение: |
Линейное (векторное) пространство над полем $K$ — это множество $L$ с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что:
|
| Определение: |
| Функция $\ |
Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как $\rho(x, y) = \| x - y \|$. Заметим, что обратное неверно: например, хоть и $\mathbb{R}^{\infty}$ c $\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}$ можно наделить линейной сткуртурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой.
Смысл нормы в ЛП состоит в том, чтобы линейные операции относительно нормы стали непрерывными: TODO что-то не особенно понял, к чему тут это
Примеры НП:
- $X = \mathbb{R}^n, \| \overline x \| = \sqrt {\sum_{k = 1}^{n} x_k^2}$
- $X = C[a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, $\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|$
- $X = L_p$ — пространство TODO пшшш,$\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}$,
| Определение: |
| Нормированное пространство $(X, \ |
Ссылочки:
</wikitex>
