Нормированные пространства (3 курс) — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 29: Строка 29:
 
}}
 
}}
  
−
Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как $\rho(x, y) = \| x - y \|$. Заметим, что обратное неверно: например, хоть и $\mathbb{R}^{\infty}$ c $\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}$ можно наделить линейной сткуртурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой.
+
Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как $\rho(x, y) = \| x - y \|$. Заметим, что обратное неверно: например, хоть и $\mathbb{R}^{\infty}$ c $\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}$ можно наделить линейной структурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой.
  
 
Смысл нормы в ЛП состоит в том, чтобы линейные операции относительно нормы стали непрерывными: TODO что-то не особенно понял, к чему тут это
 
Смысл нормы в ЛП состоит в том, чтобы линейные операции относительно нормы стали непрерывными: TODO что-то не особенно понял, к чему тут это
Строка 36: Строка 36:
 
* $X = \mathbb{R}^n, \| \overline x  \| = \sqrt {\sum_{k = 1}^{n} x_k^2}$
 
* $X = \mathbb{R}^n, \| \overline x  \| = \sqrt {\sum_{k = 1}^{n} x_k^2}$
 
* $X = C[a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, $\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|$
 
* $X = C[a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, $\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|$
−
* $X = L_p$ — пространство TODO пшшш,$\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}$, заметим, что здесь надо отождествить почти везде совпадающие функции, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.
+
* $X = L_p$ — пространство функций, интегрируемых на множестве <tex> E </tex> с <tex> p </tex> степенью ,$\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}$. В таком пространстве отождествленны функции, различающиеся на множестве меры ноль, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.
  
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 48: Строка 48:
 
}}
 
}}
  
−
Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: $x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x$. TODO: в одну сторону равносильность определений вроде очевидна, а в другую не очень.
+
Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: $x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x$. Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость. В обратную сторону: ???.
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
Строка 68: Строка 68:
 
Рассмотрим на нем функцию $f : S_2 \to \mathbb{R}$, $f(x) = \|x\| = \| \sum \alpha_i e_i \|$. Покажем, что она непрерывна: $|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \| \le M  \sqrt{\sum (\Delta \alpha_k )^2}$, то есть при стремлении $\Delta \alpha_k $ к $0$, расстояние между $f(\overline \alpha)$ и $f(\overline \alpha + \Delta \overline \alpha)$ также стремится к нулю, что означает непрерывность.
 
Рассмотрим на нем функцию $f : S_2 \to \mathbb{R}$, $f(x) = \|x\| = \| \sum \alpha_i e_i \|$. Покажем, что она непрерывна: $|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \| \le M  \sqrt{\sum (\Delta \alpha_k )^2}$, то есть при стремлении $\Delta \alpha_k $ к $0$, расстояние между $f(\overline \alpha)$ и $f(\overline \alpha + \Delta \overline \alpha)$ также стремится к нулю, что означает непрерывность.
  
−
Так как $f$ непрерывна на $S_2$, то по [[теореме Вейерштрасса]] она принимает минимум на этом компакте, равный $m$ (пусть он достигается в точке $\overline \alpha^*$). Также $f$ не может быть нулем на $S_2$: пусть для какого-то $x \in S_2$ это так, тогда тогда $\|x\| = 0 \Rightarrow \| \sum \alpha_k e_k \| = 0 \Rightarrow \alpha_k e_k = 0 \Rightarrow \forall k: \alpha_k = 0 \Rightarrow \|x\|_2 = 0$, что означает, что $x \notin S_2$, то есть $m > 0$.
+
Так как $f$ непрерывна на $S_2$, то по [[Предел_отображения_в_метрическом_пространстве#Равномерно непрерывные отображения|теореме Вейерштрасса]] она принимает минимум на этом компакте, равный $m$ (пусть он достигается в точке $\overline \alpha^*$). Также $f$ не может быть нулем на $S_2$: пусть для какого-то $x \in S_2$ это так, тогда тогда $\|x\| = 0 \Rightarrow \| \sum \alpha_k e_k \| = 0 \Rightarrow \alpha_k e_k = 0 \Rightarrow \forall k: \alpha_k = 0 \Rightarrow \|x\|_2 = 0$, что означает, что $x \notin S_2$, то есть $m > 0$.
  
 
Теперь рассмотрим произвольный ненулевой $x \in \mathbb{R}^n$, тогда точка $x' = {x \over \|x\|_2}$ также принадлежит $\mathbb{R}^n$ по линейности пространства, и в частности, принадлежит $S_2$. Рассмотрим $x'$: $ f(x') = \|x'\| = \| {x \over {\| x \|_2}} \| = {{\| x \|} \over {\| x \|_2}} \ge m$, то есть $m \| x \|_2 \le \|x\|$.
 
Теперь рассмотрим произвольный ненулевой $x \in \mathbb{R}^n$, тогда точка $x' = {x \over \|x\|_2}$ также принадлежит $\mathbb{R}^n$ по линейности пространства, и в частности, принадлежит $S_2$. Рассмотрим $x'$: $ f(x') = \|x'\| = \| {x \over {\| x \|_2}} \| = {{\| x \|} \over {\| x \|_2}} \ge m$, то есть $m \| x \|_2 \le \|x\|$.
Строка 85: Строка 85:
 
TODO: в конспекте мутно, но, видимо, для любой функции $f$ в $C[0; 1]$ можно подобрать последовательность полиномов, равномерно сходящуюся к $f$ на $[0; 1]$
 
TODO: в конспекте мутно, но, видимо, для любой функции $f$ в $C[0; 1]$ можно подобрать последовательность полиномов, равномерно сходящуюся к $f$ на $[0; 1]$
 
|proof=
 
|proof=
−
TODO: какая-то хурма в конспекте(((
+
[[Приближение_непрерывной_функции_полиномами_на_отрезке]]
 
}}
 
}}
 
Ссылочки:
 
Ссылочки:

Версия 13:40, 2 января 2013

Эта статья находится в разработке!

<wikitex>


Определение:
Линейное (векторное) пространство над полем $K$ — это множество $L$ с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что:
  • По операции сложения $L$ является абелевой группой — выполняются:
    • ассоциативность — $\forall x, y, z \in L: (x + y) + z = x + (y + z)$
    • существование нейтрального элемента — $\exists \mathrm{0} \in L \forall x \in L: x + \mathrm{0} = \mathrm{0} + x = x$, причем можно показать, что он единственный
    • существование обратного элемента — $\forall x \in L \exists y: x + y = \mathrm{0}$, такой $y$ называют обратным к $x$, причем можно показать, что он единственный
    • коммутативность — $\forall x, y \in L: x + y = y + x$
  • Для операции умножения на скаляр:
    • ассоциативность умножения на скаляр — $\forall \alpha, \beta \in K \forall x \in L: (\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)$
    • унитарность: $\forall x \in L: 1 \cdot x = x$, где $1$ — единица по умножению в поле $K$
    • дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов — $\forall \alpha \in K \forall x, y \in L: \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y$
    • дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — $\forall \alpha, \beta \in K \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$


Определение:
Функция $\


Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как $\rho(x, y) = \| x - y \|$. Заметим, что обратное неверно: например, хоть и $\mathbb{R}^{\infty}$ c $\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}$ можно наделить линейной структурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой.

Смысл нормы в ЛП состоит в том, чтобы линейные операции относительно нормы стали непрерывными: TODO что-то не особенно понял, к чему тут это

Примеры НП:

  • $X = \mathbb{R}^n, \| \overline x \| = \sqrt {\sum_{k = 1}^{n} x_k^2}$
  • $X = C[a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, $\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|$
  • $X = L_p$ — пространство функций, интегрируемых на множестве [math] E [/math] с [math] p [/math] степенью ,$\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}$. В таком пространстве отождествленны функции, различающиеся на множестве меры ноль, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.


Определение:
Нормированное пространство $(X, \


Определение:
Нормы $\


Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: $x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x$. Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость. В обратную сторону: ???.

Теорема (Рисс):
В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Докажем, что произвольная норма $\
[math]\triangleleft[/math]
\| = Шаблон:\ \ge m$, то есть $m \| x \|_2 \le \|x\|$.

Таким образом, получили обе части тройного неравенства. }}

Следствие: Пусть $X$ — НП и $Y$ — линейное конечномерное подпространство в $X$, тогда $Y$ — замкнуто в $X$, т.е. $Y$ — TODO: пшшш

Пример: $ X = C[0; 1]$, $Y$ — пространство всех полиномов TODO: полиновов какой степени?

Теорема (Вейерштрасс, аппроксимационная теорема Вейерштрасса (Стоуна-Вейерштрасса)):
TODO: в конспекте мутно, но, видимо, для любой функции $f$ в $C[0; 1]$ можно подобрать последовательность полиномов, равномерно сходящуюся к $f$ на $[0; 1]$
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Приближение_непрерывной_функции_полиномами_на_отрезке
[math]\triangleleft[/math]

Ссылочки:

</wikitex>

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Нормированные_пространства_(3_курс)&oldid=28650»