Гильбертовы пространства — различия между версиями
(Новая страница: «{{В разработке}}») |
|||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
{{В разработке}} | {{В разработке}} | ||
| + | <wikitex> | ||
| + | |||
| + | {{Определение | ||
| + | |definition= | ||
| + | '''Скалярным произведением''' в действительном линейном пространстве называется функция $\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, удовлетворяющяя следующим аксиомам: | ||
| + | # $\langle x, x \rangle \ge 0$ и $\langle x, x \rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0$ | ||
| + | # $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$ | ||
| + | # $\langle \alpha x + \beta y, z \rangle = \alpha \langle x, z \rangle + \beta \langle y, z \rangle$ | ||
| + | Пару из линейного пространства и скалярного произведения на нем называют '''евклидовым пространством''' TODO в конспекте почему-то унитарное, но унитарное — это же комплексное( | ||
| + | }} | ||
| + | |||
| + | Пример: | ||
| + | * $X = \mathbb{R}^n, \langle \overline x, \overline y \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_k y_k$ | ||
| + | * $X = \ell_2$, то есть множество бесконечных числовых последовательностей, сумма квадратов которых сходится ($x = (x_1, x_2 \dots x_n \dots), \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i^2 < + \infty$). $\langle x, \rangle y = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i y_i$, сходимость этого ряда и аксиомы скалярного произведения доказаны [[Нормированные пространства#Пространство последовательностей | тут]]. | ||
| + | |||
| + | В УП выполняется [[Нормированные пространства#Гильбертовы пространства | неравенство Шварца]] : $|\langle x, \langle y| \le \sqrt{\langle x, x \rangle} \sqrt{\langle y, y \rangle}$ | ||
| + | |||
| + | УП — частный случай [[нормированных пространств]]: можно ввести норму как $\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$, неравенство Шварца используется для доказательства того, что третья аксиома нормы выполняется. | ||
| + | |||
| + | Для нормы, порожденной скалярным произведением выполняется '''равенство параллелограмма''': $\| x + y \|^2 + \| x - y \|^2 = 2 \| x \|^2 + 2 \| y \|^2$. | ||
| + | |||
| + | {{Определение | ||
| + | |definition= | ||
| + | '''Гильбертовым пространством''' называют Банахово пространство, в котором норма порождена скалярным произведением. | ||
| + | }} | ||
| + | |||
| + | TODO: какая-то хурма про наилучшее приближение | ||
| + | |||
| + | {{Определение | ||
| + | |definition= | ||
| + | Пусть $H_1$ — подпространство в $H$, тогда '''ортогональным дополнением''' называется $H_2 = H_1^{\perp} = \{ x \in H | mid \forall y \in H_1: x \perp y\}$. | ||
| + | }} | ||
| + | |||
| + | TODO: что-то неразборчивое про прямую сумму | ||
| + | |||
| + | {{Лемма | ||
| + | |author=Рисc | ||
| + | |about=о почти перпендикуляре | ||
| + | |statement= | ||
| + | Пусть $X$ — НП, а $Y$ - собственное подпространство $X$, тогда $\forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \|z_{\varepsilon}\| = 1,\; \rho(z_{\varepsilon}, Y) \geq 1 - \varepsilon$ (где $\rho(z, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \|z-y\|$) | ||
| + | |proof= | ||
| + | Если $Y$ — строго подмножество $X$, то существует $x_0 \notin Y$. | ||
| + | |||
| + | $d = \rho(x_0, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \| x_0 - y \|$ | ||
| + | |||
| + | Пусть $d = 0$, тогда $\forall n \in \mathbb{N} \exists y_n \in Y: \| x_0 - y_n \| < {1 \over n}$, то есть $y_n \to x_0$. $Y$ — замкнутое, следовательно, $x_0 \in Y$, то есть получили противоречие и $d > 0$. | ||
| + | |||
| + | $\varepsilon \in (0, 1)$, тогда ${1 \over 1 - \varepsilon} > 1$, $\exists y_{\varepsilon} \in Y: \| x_0 - y_{\varepsilon} \| < {1 \over 1 - \varepsilon} d$. Рассмотрим $z_{\varepsilon} = {x_0 - y_{\varepsilon} \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \|}, \| z_{\varepsilon}\| = 1$ | ||
| + | |||
| + | $\forall y \in Y: \| z_{\varepsilon} - y \| = \left\| {x_0 - y_{\varepsilon} \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \|} - y \right\| = {\| x_0 - y_{\varepsilon} - y \| x_0 - y_{\varepsilon} \| \| \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \| }$. $y_{\varepsilon} - y \| x_0 - y_{\varepsilon}\|$ лежит в $Y$ так как оно замкнуто, тогда числитель будет больше $d$, а знаменатель — меньше ${1 \over 1 - \varepsilon} d$, то есть дробь будет больше $1 - \varepsilon$. | ||
| + | |||
| + | Таким образом, для любого $y$ из $Y$ подобрали $z_{\varepsilon}$ из $X$, что $\|z_{\varepsilon} - y \|$ не меньше $1 - \varepsilon$, а тогда и $\rho(z_{\varepsilon}, Y)$ будет не меньше $1 - \varepsilon$ по свойствам инфимума. | ||
| + | |||
| + | TODO: 1) нахера тут что-то про собственное подпространство? Чтобы $Y$ не могло полностью совпадать с $X$ или что? 2) нахера $ge 1 - \varepsilon$, почему нельзя просто $\ge \varepsilon$, раз уж он от 0 до 1? 3) объясните кто-нибудь сакральный смысл этой леммы((( | ||
| + | }} | ||
| + | |||
| + | {{Лемма | ||
| + | |about=следствие из леммы о почти перпендикуляре | ||
| + | |statement= | ||
| + | Если $X$ - бесконечномерное НП $\Rightarrow$, единичный шар $S_1 = \{ x \mid \|x \| = 1\}$ в нем не компактен. | ||
| + | |proof= | ||
| + | Возьмем $x \in S_1$ | ||
| + | }} | ||
| + | |||
| + | Ссылочки: | ||
| + | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product Dot product] | ||
| + | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Riesz's_lemma Riesz's lemma] | ||
| + | |||
| + | |||
| + | </wikitex> | ||
Версия 20:41, 1 января 2013
Эта статья находится в разработке!
<wikitex>
| Определение: |
Скалярным произведением в действительном линейном пространстве называется функция $\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, удовлетворяющяя следующим аксиомам:
|
Пример:
- $X = \mathbb{R}^n, \langle \overline x, \overline y \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_k y_k$
- $X = \ell_2$, то есть множество бесконечных числовых последовательностей, сумма квадратов которых сходится ($x = (x_1, x_2 \dots x_n \dots), \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i^2 < + \infty$). $\langle x, \rangle y = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i y_i$, сходимость этого ряда и аксиомы скалярного произведения доказаны тут.
В УП выполняется неравенство Шварца : $|\langle x, \langle y| \le \sqrt{\langle x, x \rangle} \sqrt{\langle y, y \rangle}$
УП — частный случай нормированных пространств: можно ввести норму как $\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$, неравенство Шварца используется для доказательства того, что третья аксиома нормы выполняется.
Для нормы, порожденной скалярным произведением выполняется равенство параллелограмма: $\| x + y \|^2 + \| x - y \|^2 = 2 \| x \|^2 + 2 \| y \|^2$.
| Определение: |
| Гильбертовым пространством называют Банахово пространство, в котором норма порождена скалярным произведением. |
TODO: какая-то хурма про наилучшее приближение
| Определение: |
| Пусть $H_1$ — подпространство в $H$, тогда ортогональным дополнением называется $H_2 = H_1^{\perp} = \{ x \in H |
TODO: что-то неразборчивое про прямую сумму
| Лемма (Рисc, о почти перпендикуляре): |
Пусть $X$ — НП, а $Y$ - собственное подпространство $X$, тогда $\forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \ |
| Доказательство: |
|
Если $Y$ — строго подмножество $X$, то существует $x_0 \notin Y$. $d = \rho(x_0, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \ |
| Лемма (следствие из леммы о почти перпендикуляре): |
Если $X$ - бесконечномерное НП $\Rightarrow$, единичный шар $S_1 = \{ x \mid \ |
| Доказательство: |
| Возьмем $x \in S_1$ |
Ссылочки:
</wikitex>
