Линейные функционалы

Эта статья находится в разработке!

Определение:

Пусть [math]X[/math] ­— линейное множество. Отображение [math] f\colon X \to \mathbb{R} [/math] — линейный функционал, если [math]\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \ \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(x)[/math]. Обозначим [math]X^*[/math] — совокупность линейных функционалов, определенных на множестве [math]X[/math]. [math] \mathrm{Ker}\, f = \{x \mid f(x) = 0 \} [/math] — ядро функционала.

Заметим: [math] 0 \cdot \alpha = 0 \forall \alpha \in \mathbb{R}[/math]. По линейности [math]f(\alpha \cdot 0) = \alpha f(0)[/math], следовательно, [math]f(0) = 0[/math].