Участник:Yulya3102/Матан3сем — различия между версиями
(→Список недописанных теорем) |
(→Дифференцирование «произведений») |
||
Строка 288: | Строка 288: | ||
=== Дифференцирование «произведений» === | === Дифференцирование «произведений» === | ||
+ | {{Лемма | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>, <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда: | ||
+ | |||
+ | 1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a), h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) </tex> | ||
+ | |||
+ | 2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex> | ||
+ | |||
+ | (здесь <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex> — скалярное произведение <tex> a </tex> и <tex> b </tex>) | ||
+ | }} | ||
+ | |||
=== Теорема Лагранжа для векторнозначных функций === | === Теорема Лагранжа для векторнозначных функций === | ||
{{Теорема | {{Теорема |
Версия 22:19, 4 января 2013
Содержание
- 1 Основные вопросы
- 1.1 Список недописанных теорем
- 1.2 Признак Вейерштрасса
- 1.3 Теорема Стокса--Зайдля для рядов
- 1.4 Теорема об интегрировании функционального ряда
- 1.5 Теорема о дифференцировании функционального ряда
- 1.6 Теорема о почленном предельном переходе в суммах
- 1.7 Теорема о перестановке пределов
- 1.8 Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда
- 1.9 Метод суммирования Абеля
- 1.10 Теорема о круге сходимости степенного ряда
- 1.11 Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда
- 1.12 Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана
- 1.13 Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда
- 1.14 Экспонента, синус, косинус. Свойства.
- 1.15 Единственность производной
- 1.16 Лемма о покоординатной дифференцируемости
- 1.17 Необходимое условие дифференцируемости.
- 1.18 Достаточное условие дифференцируемости
- 1.19 Лемма об оценке нормы линейного оператора
- 1.20 Дифференцирование композиции
- 1.21 Дифференцирование «произведений»
- 1.22 Теорема Лагранжа для векторнозначных функций
- 1.23 Экстремальное свойство градиента
- 1.24 Независимость частных производных от порядка дифференцирования
- 1.25 Полиномиальная формула
- 1.26 Лемма о дифференцировании «сдвига»
- 1.27 Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)
- 1.28 Теорема о пространстве линейных отображений
- 1.29 Теорема Лагранжа для отображений
- 1.30 Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому
- 1.31 Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях
- 1.32 Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля
- 1.33 Лемма об оценке квадратичной форме и об эквивалентных нормах
- 1.34 Достаточное условие экстремума
- 1.35 Лемма о почти локальной инъективности
- 1.36 Теорема о сохранении области
- 1.37 Теорема о диффеоморфизме
- 1.38 Теорема о локальной обратимости
- 1.39 Теорема о неявном отображении
- 1.40 Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений
- 1.41 Необходимое условие относительного локального экстремума
- 1.42 Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел
- 1.43 Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути
- 1.44 Обобщенная формула Ньютона--Лебница
- 1.45 Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов
- 1.46 Лемма о дифференцировании интеграла по параметру
- 1.47 Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре
- 1.48 Лемма о гусенице
- 1.49 Лемма о равенстве интегралов по похожим путям
- 1.50 Лемма о похожести путей, близких к данному
- 1.51 Равенство интегралов по гомотопным путям
- 1.52 Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре
- 1.53 Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$
- 1.54 Лемма о локализации (в методе Лапласа)
- 1.55 Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов
- 1.56 Теоерма Вейерштрасса о приближении функций многочленами
- 1.57 Формула Стирлинга для Гамма-функции
- 2 Определения и факты
- 2.1 Список определений
- 2.2 Равномерно сходящийся ряд
- 2.3 Признак Абеля равномерной сходимости
- 2.4 Радиус сходимости степенного ряда
- 2.5 Формула Адамара
- 2.6 Комплексная производная
- 2.7 Экспонента синус и косинус комплексной переменной
- 2.8 Отображение, бесконечно малое в точке
- 2.9 o(h) при h->0
- 2.10 Дифференцируемое отображение
- 2.11 Производный оператор
- 2.12 Дифференциал отображения
- 2.13 Матрица Якоби
- 2.14 Частные производные
- 2.15 Производная по вектору, по направлению
- 2.16 Градиент
- 2.17 Частная производная второго порядка, k-го порядка
- 2.18 Классы функций $C^k(E)$
- 2.19 Мультииндекс и обозначения с ним
- 2.20 Формула Тейлора (различные виды записи)
- 2.21 $n$-й дифференциал
- 2.22 Норма линейного оператора
- 2.23 Локальный максимум, минимум, экстремум
- 2.24 Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма
- 2.25 Диффеоморфизм
- 2.26 Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений
- 2.27 Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m
- 2.28 Относительный локальный максимум, минимум, экстремум
- 2.29 Формулировка достаточного условия относительного экстремума
- 2.30 Кусочно-гладкий путь
- 2.31 Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути
- 2.32 Потенциальное векторное поле
- 2.33 Потенциал векторного поля
- 2.34 Похожие пути
- 2.35 Локально-потенциальное векторное поле
- 2.36 Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути
- 2.37 Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия
- 2.38 Односвязная область
Основные вопросы
Список недописанных теорем
Признак Вейерштрасса — доказательство
Теорема Стокса--Зайдля для рядов — формулировка, доказательство
Теорема об интегрировании функционального ряда — доказательство
Теорема о дифференцировании функционального ряда — формулировка (проверить), доказательство
Теорема о почленном предельном переходе в суммах — доказательство
Теорема о перестановке пределов — доказательство
Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда — доказательство
Метод суммирования Абеля — доказательство
Теорема о круге сходимости степенного ряда — формулировка, доказательство
Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда — формулировка, доказательство
Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана — формулировка, доказательство
Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда — формулировка, доказательство
Экспонента, синус, косинус. Свойства. — доказательство
Необходимое условие дифференцируемости. — формулировка, доказательство
Достаточное условие дифференцируемости — формулировка, доказательство
Лемма об оценке нормы линейного оператора — доказательство
Дифференцирование композиции — доказательство
Дифференцирование ``произведений`` — формулировка, доказательство
Теорема Лагранжа для векторнозначных функций — доказательство
Экстремальное свойство градиента — доказательство
Независимость частных производных от порядка дифференцирования — доказательство
Полиномиальная формула — доказательство
Лемма о дифференцировании ``сдвига`` — доказательство
Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано) — формулировка, доказательство
Теорема о пространстве линейных отображений — формулировка, доказательство
Теорема Лагранжа для отображений — доказательство
Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обрати — формулировка, доказательствомому
Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях — формулировка, доказательство
Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля — формулировка, доказательство
Лемма об оценке квадратичной форме и об эквивалентных нормах — формулировка, доказательство
Достаточное условие экстремума — формулировка, доказательство
Лемма о почти локальной инъективности — формулировка, доказательство
Теорема о сохранении области — формулировка, доказательство
Теорема о диффеоморфизме — формулировка, доказательство
Теорема о локальной обратимости — формулировка, доказательство
Теорема о неявном отображении — формулировка, доказательство
Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений — формулировка, доказательство
Необходимое условие относительного локального экстремума — формулировка, доказательство
Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел — формулировка, доказательство
Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути — формулировка, доказательство
Обобщенная формула Ньютона--Лебница — формулировка, доказательство
Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов — формулировка, доказательство
Лемма о дифференцировании интеграла по параметру — формулировка, доказательство
Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре — формулировка, доказательство
Лемма о гусенице — формулировка, доказательство
Лемма о равенстве интегралов по похожим путям — формулировка, доказательство
Лемма о похожести путей, близких к данному — формулировка, доказательство
Равенство интегралов по гомотопным путям — формулировка, доказательство
Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре — формулировка, доказательство
Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$ — формулировка, доказательство
Лемма о локализации (в методе Лапласа) — формулировка, доказательство
Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов — формулировка, доказательство
Теоерма Вейерштрасса о приближении функций многочленами — формулировка, доказательство
Формула Стирлинга для Гамма-функции — формулировка, доказательство
Признак Вейерштрасса
Теорема: |
Рассмотрим ряд , где ( — метрическое пространство). Пусть есть ряд — сходящийся, такой, что . Тогда равномерно сходится на . |
Доказательство: |
Для доказательства достаточно проверить справедливость критерия Коши. |
//критерий Коши — это, блин, што?
Теорема Стокса--Зайдля для рядов
Теорема: |
Пусть ряд , где , равномерно сходится на . Пусть есть точка , такая, что все непрерывны в . Тогда непрерывна в точке . |
Теорема об интегрировании функционального ряда
Теорема: |
Пусть ( — множество непрерывных функций), равномерно сходится на , . Тогда |
Теорема о дифференцировании функционального ряда
Проверить пункты про сходимость
Теорема: |
Пусть ( — множество непрерывно дифференцируемых функций). поточечно сходится на , . при , — равномерно сходится на к . Тогда и . |
Теорема о почленном предельном переходе в суммах
Теорема: |
Пусть , .
1) 2) равномерно сходится наТогда 1) 2) — сходится |
Теорема о перестановке пределов
(
)Теорема: |
Пусть , (или даже — предельная точка )
1) сходится равномерно к при2) Тогда 1) 2) |
Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда
Теорема: |
Пусть есть ряд ,
1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. 2) Тогда монотонна по и равномерно сходится к равномерно сходится на . |
Метод суммирования Абеля
Теорема: |
Пусть сходится. Рассмотрим функцию . Тогда . |
Теорема о круге сходимости степенного ряда
Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда
Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана
Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда
Экспонента, синус, косинус. Свойства.
Пусть
Единственность производной
Теорема: |
Производный оператор единственный. |
Доказательство: |
Покажем, что значение производного оператора определения. По линейности имеем: на каждом векторе определяется однозначно. По линейности оператора . Зафиксируем . Возьмём достаточно малое по модулю (достаточно взять , где ) и подставим вместо в равенство из. Перенеся в левую часть и разделив на , получим:, то есть . |
Лемма о покоординатной дифференцируемости
Лемма: |
Дифференцируемость отображения в точке равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций в точке . |
Доказательство: |
Пусть из определения производного оператора покоординатно: дифференцируемо в точке . Запишем равенство. Координатные функции Обратно, пусть линейного оператора являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения равносильно такому же свойству его координатных функций . Поэтому для выполнено определение дифференцируемости. дифференцируемы в точке . Тогда для каждого существует линейная функция и функция , непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для выполняется равенство из определения производного оператора, где — оператор с координатными функциями . |
Необходимое условие дифференцируемости.
Достаточное условие дифференцируемости
Лемма об оценке нормы линейного оператора
Лемма: |
Пусть — линейный оператор. Тогда , где ( — элементы его матрицы) |
Дифференцирование композиции
Теорема: |
Пусть , , дифференцируемо в , дифференцируемо в . Тогда дифференцируемо в , и при этом |
Дифференцирование «произведений»
Лемма: |
Пусть , , , — дифференцируемые в . тогда:
1) 2) (здесь — скалярное произведение и ) |
Теорема Лагранжа для векторнозначных функций
Теорема: |
Пусть , , вектор-функция непрерывна на и дифференцируема на . Тогда найдётся такая точка , что . |
Экстремальное свойство градиента
Теорема: |
Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда для любого верно . |
Независимость частных производных от порядка дифференцирования
Теорема: |
Пусть , открыто в , , набор получен из набора перестановкой. Тогда для всех верно . |
Полиномиальная формула
Лемма: |
Если , — мультииндекс, то |
Лемма о дифференцировании «сдвига»
Лемма: |
Пусть , так, что . Также . Пусть . Тогда верно . |
Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)
Теорема о пространстве линейных отображений
Теорема Лагранжа для отображений
Теорема: |
Пусть открыто в , отображение дифференцируемо на , ( называется отрезком с концами и <tex< b </tex>). Тогда найдётся такое , что . |
Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому
Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях
Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля
Лемма об оценке квадратичной форме и об эквивалентных нормах
Достаточное условие экстремума
Лемма о почти локальной инъективности
Теорема о сохранении области
Теорема о диффеоморфизме
Теорема о локальной обратимости
Теорема о неявном отображении
Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений
Необходимое условие относительного локального экстремума
Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел
Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути
Обобщенная формула Ньютона--Лебница
Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов
Лемма о дифференцировании интеграла по параметру
Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре
Лемма о гусенице
Лемма о равенстве интегралов по похожим путям
Лемма о похожести путей, близких к данному
Равенство интегралов по гомотопным путям
Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре
Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$
Лемма о локализации (в методе Лапласа)
Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов
Теоерма Вейерштрасса о приближении функций многочленами
Формула Стирлинга для Гамма-функции
Определения и факты
Список определений
Равномерно сходящийся ряд
Радиус сходимости степенного ряда
Формула Адамара
Комплексная производная
Формула Тейлора (различные виды записи)
Локальный максимум, минимум, экстремум
Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма
Диффеоморфизм
Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений
Гладкое простое $k$-мерное многообразие в ${\mathbb R}^m$
Относительный локальный максимум, минимум, экстремум
Формулировка достаточного условия относительного экстремума
Кусочно-гладкий путь
Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути
Потенциальное векторное поле
Потенциал векторного поля
Похожие пути
Локально-потенциальное векторное поле
Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути
Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия
Односвязная область
Равномерно сходящийся ряд
Признак Абеля равномерной сходимости
Теорема: |
Рассмотрим ряд , :
1) равномерно сходится,2) Тогда равномерно ограничена и монотонна по равномерно сходится на . |
Радиус сходимости степенного ряда
http://school-collection.edu.ru/catalog/res/e7fcbdcc-1e1d-438f-b821-dbbe69c37389/view/
Формула Адамара
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D1%83%D0%B3_%D1%81%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 (в других местах бред)
Комплексная производная
http://clubmt.ru/lec3/lec34.htm (тут первое определение)
Экспонента синус и косинус комплексной переменной
Определение: |
|
Отображение, бесконечно малое в точке
Определение: |
Пусть | , . — бесконечно малое при , если . ( — -мерный ноль)
o(h) при h->0
Определение: |
Пусть | . при , если — бесконечно малая при .
Дифференцируемое отображение
Определение: |
Пусть то отображение , называется дифференцируемым в точке . При этом оператор называется производным оператором, производным отображением или, короче, производной отображения в точке и обозначается . | ( — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор ( — множество линейных ограниченных операторов из в ), что
Производный оператор
Определение: |
Оператор | из определения производной называется производным оператором отображения в точке .
Дифференциал отображения
Определение: |
Величина | называется дифференциалом отображения в точке , соответствующим приращению , и обозначается или .
Матрица Якоби
Определение: |
Пусть отображение | дифференцируемо в точке . Матрица оператора называется матрицей Якоби отображения в точке .
Частные производные
Определение: |
Пусть | . Производная (где — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции по -ой переменной в точке и обозначается ещё .
Производная по вектору, по направлению
Определение: |
Пусть | , , . Предел называется производной функции по вектору в точке и обозначается или . Если , то вектор называется направлением, а производная по нему — производной по направлению .
Градиент
Определение: |
Пусть | . Если существует такой вектор , что , то функция называется дифференцируемой в точке . Вектор-строка называется градиентом функции в точке и обозначается или . Символ называется символом или оператором Гамильтона.
Частная производная второго порядка, k-го порядка
Определение: |
Предположим, что | и частные производные порядка уже определены. Пусть . Частная производная функции порядка по переменным с номерами в точке определяется равенством , если правая часть существует.
Классы функций $C^k(E)$
Определение: |
Множество функций, | раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве пространства , обозначается или . По определению — класс непрерывных на функций. Через обозначается класс бесконечно дифференцируемых на функций.
Мультииндекс и обозначения с ним
Определение: |
Вектор | называют мультииндексом. Величину называют высотой мультииндекса .
Если
— мультииндекс, , то частную производную порядка (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса обозначают . Также полагают , , где .Формула Тейлора (различные виды записи)
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules4.php
$n$-й дифференциал
Определение: |
Пусть
, где — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок. | . Тогда:
Норма линейного оператора
Напомним, что норма в векторном пространстве
над — функция , удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость ( тогда и только тогда, когда ), положительная однородность ( , где — скаляр), неравенство треугольника ( ). Аналогично для матриц (там ).Определение: |
Пусть | — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), — линейный оператор. Нормой оператора называется величина .
Локальный максимум, минимум, экстремум
http://www.sernam.ru/lect_math2.php?id=52