Обсуждение:Нормированные пространства (3 курс) — различия между версиями
| Строка 3: | Строка 3: | ||
:: UPD: видимо, равносильность все же должна быть. Но я пока не понимаю, как ее доказать. Может, кто-нибудь сделает это? --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 07:43, 7 января 2013 (GST) | :: UPD: видимо, равносильность все же должна быть. Но я пока не понимаю, как ее доказать. Может, кто-нибудь сделает это? --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 07:43, 7 января 2013 (GST) | ||
::: А тебе для чего-то понадобилось? --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 15:10, 7 января 2013 (GST) | ::: А тебе для чего-то понадобилось? --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 15:10, 7 января 2013 (GST) | ||
| + | ::: И, кстати, я правильно понимаю, что надо доказать что-то вроде "если нормы не эквивалентны, то найдется последовательность, которая по одной норме сходится, а по другой нет?". Тогда вроде все просто, действуем по определению, пусть <wikitex>$\|\|_1$ и $\|\|_2$ не эквивалентны, тогда для любого $n$ найдется $x_n$ такой, что $\|x_n\|_1 > n \|x_n\|_2$. Теперь рассмотрим последовательность $\frac{x_n}{\|x_n\|_1}$, по первой норме она сходится к 1, а по второй норме — к 0</wikitex>. --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 10:19, 13 января 2013 (GST) | ||
TODO: сначала надо что-то сказать про изоморфность конечномерных пространств, чтоли? | TODO: сначала надо что-то сказать про изоморфность конечномерных пространств, чтоли? | ||
Версия 09:19, 13 января 2013
Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: $x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x$. Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость. В обратную сторону: ???.
- А у меня в конспекте ничего не сказано про равносильность определений, более того, подозреваю, что это неверно. --Мейнстер Д. 01:02, 5 января 2013 (GST)
- UPD: видимо, равносильность все же должна быть. Но я пока не понимаю, как ее доказать. Может, кто-нибудь сделает это? --Мейнстер Д. 07:43, 7 января 2013 (GST)
- А тебе для чего-то понадобилось? --Дмитрий Герасимов 15:10, 7 января 2013 (GST)
- И, кстати, я правильно понимаю, что надо доказать что-то вроде "если нормы не эквивалентны, то найдется последовательность, которая по одной норме сходится, а по другой нет?". Тогда вроде все просто, действуем по определению, пусть <wikitex>$\|\|_1$ и $\|\|_2$ не эквивалентны, тогда для любого $n$ найдется $x_n$ такой, что $\|x_n\|_1 > n \|x_n\|_2$. Теперь рассмотрим последовательность $\frac{x_n}{\|x_n\|_1}$, по первой норме она сходится к 1, а по второй норме — к 0</wikitex>. --Дмитрий Герасимов 10:19, 13 января 2013 (GST)
- UPD: видимо, равносильность все же должна быть. Но я пока не понимаю, как ее доказать. Может, кто-нибудь сделает это? --Мейнстер Д. 07:43, 7 января 2013 (GST)
TODO: сначала надо что-то сказать про изоморфность конечномерных пространств, чтоли?
- WAT? Вроде бы, все согласуется с определением конечномерного пространства, возможно, я чего-то не понял, но пока удолил --Мейнстер Д. 01:02, 5 января 2013 (GST)
аппроксимационная теорема Вейерштрасса (Стоуна-Вейерштрасса)
Может быть, можно как-то воспользоваться следствием и очень просто доказать ее, но в моем конспекте она вообще не упомянута. --Мейнстер Д. 01:12, 5 января 2013 (GST)
- UPD: Похоже, речь шла о том, что в теореме Вейерштрасса максимальная степень полинома не ограничена, и пространство вообще всех полиномов замкнутым не является, но это — так, маловажное замечание. --Мейнстер Д. 04:08, 5 января 2013 (GST)
норма для R^infty
"не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой."
- почему? --Дмитрий Герасимов 09:52, 13 января 2013 (GST)
