Изменения
→Свойства корреляции
: <tex>Corr(\eta,\xi) = Corr(\xi,\eta)</tex>.
|proof=
: <tex dpi = "150">Corr(\eta,\xi) = { E(\eta \times \xi) - E(\eta) \times E(\xi) \over \sqrt{D(\eta)} \times \sqrt{D(\xi)} } = { E(\xi \times \eta) - E(\xi) \times E(\eta) \over \sqrt{D(\xi)} \times \sqrt{D(\eta)} } = Corr(\xi,\eta)</tex>.
}}
|proof=
Для доказательства будем использовать свойство [[Ковариация_случайных_величин|http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD#.D0.9D.D0.B5.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B5.D0.BD.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.BE_.D0.9A.D0.BE.D1.88.D0.B8_.E2.80.94_.D0.91.D1.83.D0.BD.D1.8F.D0.BA.D0.BE.D0.B2.D1.81.D0.BA.D0.BE.D0.B3.D0.BE теорему] ковариации]]:
<tex>Cov^2(\eta, \xi) \le \sigma_\eta ^2\sigma_\xi ^2</tex>
<tex>Corr^2(\eta,\xi) \le 1</tex>
<tex>-1 \le Corr(\eta,\xi) \le 1</tex>.
}}
|proof=
Из этого следует, что дискриминант этого многочлена равен нулю <tex>\sigma_\xi ^2t^2+2Cov(\eta,\xi)t+\sigma_\eta ^2</tex>. Получаем, что в неравенстве <tex>\sigma_\xi ^2t^2+2Cov(\eta,\xi)t+\sigma_\eta ^2 \ge 0</tex> должно выполняться равенство, что возможно только при нулевом дискриминанте. То есть будет единственный корень <tex> t_0 </tex>.
Из этого следует, что <tex> E((\xi-E\xi +t_0 \eta - t_0 E\eta))=E((V + t_0 W)^2) = 0 </tex>
