Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа

Иногда требуется провести подсчет комбинаторных объектов с точностью до некоторого отношения эквивалетности. Если это отношение является отношением "с точностью до действия элементом группы", то такой подсчет можно провести с помощью Леммы Бернсайда.

Определение:

Пусть группа [math]G[/math] действует на множество [math]X[/math]. Неподвижной точкой для элемента [math]g[/math] называется такой элемент [math]x[/math], для которого [math]gx=x[/math].

Лемма Бёрнсайда

Лемма (Бёрнсайд):

Пусть группа [math]G[/math] действует на множество [math]X[/math]. Будем называть два элемента [math]x[/math] и [math]y[/math] эквивалентными, если [math]x = gy[/math] для некоторого [math]g \in G[/math]. Тогда число классов эквивалентности равно сумме числа неподвижных точек по всем элементам группы [math]G[/math], делённой на размер этой группы: [math] |C| = [/math] [math]\frac{1} {|G|}[/math][math]\sum\limits_{k \in G}I(k)[/math]. Где [math]I(k)[/math] — количество неподвижных точек для элемента [math]k[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Так как [math]I(k)[/math] - сумма неподвижных точек для элемента [math]k[/math], то по определению [math]\sum\limits_{k \in G}I(k) = |\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}|[/math]. Следовательно для доказательства леммы необходимо и достаточно доказать следующее равенство: [math]|C|\cdot|G| = |\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}|[/math] Рассмотрим правую часть равенства: [math]|\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}| = \sum_{x \in X} |G_x| = \sum_{x \in X}[/math][math] \frac{|G|}{|Gx|}[/math][math] = |G| \sum_{x \in X}[/math][math]\frac{1}{|Gx|} [/math] [math]= |G|\sum_{P\in C}\sum_{x\in P}[/math][math] \frac{1}{|P|}[/math] Заметим, что [math]\sum_{x\in P}[/math][math] \frac{1}{|P|}[/math][math] = [/math][math] \frac{1}{|P|}[/math][math]\sum\limits_{1}^{|P|}{1} = 1.[/math] Следовательно: [math]|G|\sum_{P\in C}\sum_{x\in P}[/math][math] \frac{1}{|P|}[/math][math] = |G|\sum_{P\in C} 1[/math]. Очевидно, что [math]\sum_{P\in C} 1 = \sum\limits_{1}^{|C|}{1} = |C|.[/math] Тогда получим: [math]|G|\sum_{P\in C} 1 = |C|\cdot|G|.[/math] Откуда следует, что [math]\sum\limits_{k \in G}I(k) = |C|\cdot|G|.[/math] ч.т.д.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема Пойа

Теорема Пойа является обобщением теоремы Бёрнсайда. Она также позволяет находить количество классов эквивалентности, но уже используя такую величину, как кол-во циклов в перестановке. В основе доказательства теоремы Пойа лежит лемма Бёрнсайда.

Теорема (Пойа):

[math] C =[/math] [math] \frac{1} {|G|}[/math][math]\sum\limits_{k \in G} l^{P(k)}[/math] ,где [math]C[/math] — кол-во различных классов эквивалентности, [math]P(k)[/math] - кол-во циклов в перестановке [math]k[/math], [math]l[/math] — кол-во различных состояний одного элемента.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства этой теорем достаточно установить следующее равенство [math]I(k) = l^{P(k)}[/math] Рассмотрим некоторую перестановку [math]k[/math] и некоторый элемент [math]f[/math]. Под действием перестановки [math]k[/math] элементы [math]f[/math] передвигаются, как известно, по циклам перестановки. Заметим, что так как в результате должно получаться fk = f, то внутри каждого цикла перестановки должны находиться одинаковые элементы [math]f[/math]. В то же время, для разных циклов никакой связи между значениями элементов не возникает. Таким образом, для каждого цикла перестановки [math]k[/math] мы выбираем по одному значению, и, тем самым, мы получим все представления [math]f[/math], инвариантные относительно этой перестановки, т.е.: [math]I(k) = l^{P(k)}[/math]

[math]\triangleleft[/math]

См. также

• Теорема Кэли
• Задача об Ожерельях

Cсылки

• Лемма Бёрнсайда
• Теорема Пойа