Теорема Банаха-Штейнгауза

Эта статья находится в разработке!

Будем рассматривать последовательность операторов [math]A_n: X \rightarrow Y[/math].

Определение:

Последовательность [math]A_n[/math] поточечно ограничена, если [math]\forall x \in X \sup\limits_{n \in \mathbb N} \|A_n x\| \lt +\infty[/math].

Определение:

Последовательность [math]A_n[/math] равномерно ограничена, если [math]\sup\limits_{n \in \mathbb N} \|A_n\| \lt +\infty[/math].

Теорема (Банах, Штейнгауз, принцип равномерной ограниченности):

Пусть [math]X[/math] — банахово, [math]A_n \in L(X, Y)[/math], [math]A_n[/math] поточечно ограничена. Тогда [math]A_n[/math] равномерно ограничена.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Сначала покажем, что существует замкнутый шар [math]\overline V(a, r)[/math], в котором [math]\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| \lt +\infty[/math]. Покажем от противного, пусть такого шара нет, возьмем тогда произвольный замкнутый шар [math]\overline V[/math], в нем [math]\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| = +\infty[/math]. Тогда в силу неограниченности найдется [math] n_1 [/math] и [math] x_1 \in \overline V: \|A_{n_1} x_1\| \gt 1[/math]; [math]A_{n_1}[/math] непрерывен, значит, можно взять [math]V_r(x_1) = \overline {V_1} \subset \overline V[/math], где [math]r(V_1) \le \frac {r(\overline V)}{2}[/math]. Опять в силу неограниченности найдется [math]n_2 \gt n_1 [/math] и [math] x_2 \in V_1(x_1): \|A_{n_2} x_2\| \ge 2[/math]; [math]A_{n_2}[/math] непрерывен, берем [math]V_r(x_2) = \overline {V_2} \subset \overline {V_1}[/math], где [math]r(V_2) \le \frac {r(\overline V_1)}{2}[/math]. Продолжая таким образом, выстраиваем последовательность вложенных шаров [math]\overline V_{n_m}: \overline V_{n_{m+1}} \subset \overline V_{n_m}, r_{n_m} \to 0, \forall x \in \overline V_{n_m}: \|A_{n_m} x \| \gt m[/math]. Так как [math]Y[/math] - банахово, то существует [math]c \in \bigcap\limits_{m=1}^{\infty} \overline V_{n_m}[/math], [math]\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| \lt +\infty[/math]. Но [math]\forall m: \|A_{n_m}(c)\| \gt m[/math], то есть, [math]\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| = +\infty[/math]. Получили противоречие, значит, такой шар [math]\overline V(a, r)[/math] найдется, пусть на нем последовательность операторов ограничена константой [math]M[/math]. Заметим, любому [math]x \in \overline V(0, 1)[/math] в соответствие можно поставить [math]x' \in \overline V(a, r)[/math] как [math]x' = r x + a[/math], тогда [math]\| A_n x \| = {\|A_n x' - A_n a\| \over r} \le {M + \|A_n a\| \over r}[/math]. По поточечной ограниченности операторов, [math]\exists M_1: \|A_n a\| \le M_1[/math], таким образом, [math]\|A_n x\| \le {M + M_1 \over r}[/math], то есть ограничена константой, не зависящей от [math]n[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Ссылочки:

• Uniform boundness principle