Изменения

Но <tex>\forall m: \|A_{n_m}(c)\| > m</tex>, то есть, <tex>\sup\limits_{m} \|A_{n_m}(c)\| = +\infty</tex>. Получили противоречие, значит, такой шар <tex>\overline V(a, r)</tex> найдется, пусть на нем последовательность операторов ограничена константой <tex>\sup\limits_{n} \sup\limits_{x \in \overline V}\|A_n x\| = M</tex>. Заметим, любому <tex>x \in \overline V(0, 1)</tex> в соответствие можно поставить <tex>x' \in \overline V(a, r)</tex> как <tex>x' = r x + a</tex>, тогда <tex>\| A_n x \| = {\|A_n x' - A_n a\| \over r} \le {M + \|A_n a\| \over r}</tex>. По поточечной ограниченности операторов, <tex>\exists M_1: \|A_n a\| \le M_1</tex>, таким образом, <tex>\|A_n x\| \le {M + M_1 \over r}</tex>, то есть ограничена константой, не зависящей от <tex>n</tex>.