Частично рекурсивные функции

Основные определения

Рассмотрим следующее правило преобразования функций:

• Рассмотрим [math] k+1 [/math]-местную функцию [math] f(x_1,\ldots,x_k,y) [/math]. Тогда после преобразования у нас появится [math] k [/math] - местная функция [math] g(x_1,\ldots,x_k) = [/math] минимальное [math] y [/math] при котором [math] f(x_1,\ldots,x_k,y) = 0 [/math].

Это правило называется правилом минимизации и часто для него используют обозначения [math] g(x_1,\ldots,x_k) = \mu y (f(x_1,\ldots,x_k,y) = 0) [/math]

Определение:

Частично рекурсивными называют функции, которые можно получить с помощью правил минимизации, подстановки и рекурсии из константной функции [math] \textbf 0 [/math], функции [math] I(x) = x + 1, [/math] и набора функций [math] P_{n,k}(x_1,\ldots,x_n) = x_k,[/math] где [math] k \le n [/math].

Заметим что частично рекурсивная функция может быть неопределена для некоторых значений аргументов.

Определение:

Общерекурсивными называют всюду определенные частично рекурсивные функции.

Любая примитивно рекурсивная функция является общерекурсивной. Поэтому и для частично рекурсивных функций можно считать что у них в качестве аргумента и результата могут быть списки из натуральных чисел.

Вычислимые и частично рекурсивные функции

Теорема:

Множества вычислимых и частично рекурсивных функций совпадают.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Программа вычисляющая частично рекурсивную функцию легко пишется на любом удобном для читателя языке программирования. Поэтому нам достаточно показать что любая вычислимая функция примитивно рекурсивная. Функции [math] IN [/math], [math] OUT [/math], [math] N [/math], и как представляется состояние машины Тюринга описано в доказательстве теоремы о примитивной рекурсивности вычислимых функций. Функция [math] T([L,R,S,C]) [/math] возвращает минимальное число шагов за которое программа вычисляющая нашу функцию попадет в состояние [math] Accepted [/math]. Покажем что она частично рекурсивная. [math] T([L,R,S,C]) = \mu t (p_2(N([L,R,S,C],t)) = Accepted) [/math], где [math] p_i [/math] - взятие [math] i [/math] - того элемента списка. Операции сравнения здесь реализованы также как и примитивно рекурсивных функциях. В итоге [math] F(args) = OUT(N(IN(args),T(IN(args))) [/math] - частично рекурсивная функция.

[math]\triangleleft[/math]

Из этой теоремы и неразрешимости языка программ завершающихся при любом входе, следует алгоритмическая неразрешимость проверки частично рекурсивной функции на общерекурсивность.